正八胞体 |
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/7-simplex_t0.svg/220px-7-simplex_t0.svg.png) |
类型 | 正七维多胞体 八胞体 |
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家族 | 单纯形 |
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维度 | 七维 |
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对偶多胞形 | 七维正八胞体(自身对偶)![在维基数据编辑](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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识别 |
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鲍尔斯缩写
| oca![在维基数据编辑](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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数学表示法 |
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考克斯特符号
| ![node_1](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) |
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施莱夫利符号 | {3,3,3,3,3,3} {36}![在维基数据编辑](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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性质 |
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六维胞 | 8个六维正七胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/6-simplex_t0.svg/25px-6-simplex_t0.svg.png) |
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五维胞 | 28个五维正六胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/5-simplex_t0.svg/25px-5-simplex_t0.svg.png) |
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四维胞 | 56个正五胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/4-simplex_t0.svg/25px-4-simplex_t0.svg.png) |
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胞 | 70个正四面体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/3-simplex_t0.svg/25px-3-simplex_t0.svg.png) |
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面 | 56个正三角形![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/2-simplex_t0.svg/25px-2-simplex_t0.svg.png) |
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边 | 28 |
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顶点 | 8 |
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欧拉示性数 | 2 |
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特殊面或截面 |
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皮特里多边形 | 正八边形 |
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组成与布局 |
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顶点图 | 六维正七胞体
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/6-simplex_t0.svg/50px-6-simplex_t0.svg.png) |
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对称性 |
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对称群 | A7 [3,3,3,3,3,3] |
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特性 |
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凸 |
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在几何学中,七维正八胞体(Octaexon或Octa-7-tope)是一种自身对偶的正七维多胞体[1],
是七维空间的单纯形也是七维空间中最简单的正图形,因此又称为7-单纯形(7-simplex)[2]:127
,由8个六维正七胞体的六维胞组成,其二面角为cos−1(1/7)约为81.79°[1]。乔纳森·鲍尔斯(Jonathan Bowers)将七维正八胞体缩写为oca[3]。
七维正八胞体共由8个顶点、28条边、56个三角形的面、70个正四面体的三维胞、56个正五胞体的四维胞、28个五维正六胞体的五维胞和8个六维正七胞体的六维胞组成,其中六维正七胞体为七维正八胞体的维面。
对于一个边长为a的七维正八胞体,其超胞积是
,表胞积是
,高是
。
若一个七维正八胞体的棱长为1,则其外接七维超球的半径为
,内切七维超球的半径为
。[1]
边长为2的七维正八胞体可以内接于单位七维超立方体中。[4]下一个可以内接于单位超方形的最大单纯形为十一维正十二胞体。[5]
作为一种排布[编辑]
七维正八胞体的排布矩阵为:[1]
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e950a0096743e1197bd6179498d504cd8c701f9f)
行和列对应于七维正八胞体的顶点、边、面、胞、四维胞、五维胞和六维胞。对角线上的数字表示该元素在七维正八胞体中的数量。非对角线的数量表示对应行所代表的元素上有多少列所代表的元素交于该处。由于七维正八胞体是一种自身对偶的多胞体,因此这个排布矩阵旋转180度后会相同。[6][7]
顶点座标[编辑]
若一个七维正八胞体几何中心位于原点,且边长为2单位长,则其顶点座标为:
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6253789eb0cbbaa7d108eab6aeb20cd3963158f)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49150a300e748c14b10e9e1002ca83dd85e2497c)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009e191c98774b93b03b2139adf9a322ff9e3da9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87cb368f35a622dd64c2b96874ec2691bb845b7)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228ecedf6564247dac820551ee8087ed539c50c9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b70bd304b4bf5e280fbafb57c4201a5e87b3144)
![{\displaystyle \left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c37ff3a08d5ecf1c007a2f7a73c763cf2f04cb)
透过将七维正八胞体可以内接于七维超立方体中可以获得更简单的座标集合,其值为:[1]
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6aa20a3e8d3320c429ca9807ba720225e481fdd)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159816ed156539961ee3e2b40d5a6ac96142c513)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67ebe768b96570d518058f00e6887405327d5ed)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbcdf79658f51ea5d195fcf39eb9f5e65b3df7b)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141482b0b095025e6cac7ba442cd8d24d21814d3)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c961d524f6d845a0589b5fb950ddd9cc860e18)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b187833918e4ba0fcc95a4267041aeed87c49ff)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8259b130606d177d79ea8cfad9b047157f71533b)
更简单地,七维正八胞体可以坐落于八维空间座标(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。这个结构是基于八维正轴体的维面。
正交投影[编辑]
正投影图
Ak考克斯特平面
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A7
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A6
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A5
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图像
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二面体群对称性
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[8]
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[7]
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[6]
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Ak考克斯特平面
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A4
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A3
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A2
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图像
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二面体群对称性
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[5]
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[4]
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[3]
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参考文献[编辑]