均匀收敛,或称均匀收敛,(英语:Uniform convergence),是数学中关于函数序列收敛的一种定义。其概念大致可想成:若函数序列 fn 一致收敛至函数 f,代表对所有定义域中的点 x,fn(x) 收敛至 f(x) 会有(大致)相同的收敛速度[注 1]。由于它对收敛要求较逐点收敛更强,故能保持一些重要的分析性质,例如连续性、黎曼可积性。
当函数序列中的函数的对应域是
或
时,此时均匀收敛的定义为:
让
是定义在
上,对应域为
或
的一组函数序列,若序列
均匀收敛至函数
在集合
上,即表示对所有
,存在
,使得当所有
且
时有
![{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06d7b96bd063253ce6c9d29691f213bd8ccd11f)
可将这定义推广到一般的度量空间:
设
为一集合,
为度量空间。若对一组函数序列
,存在函数
满足
对所有
,存在
,使得当所有
且
时有
![{\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c9ff48516adad1ed15fa141089a4b2de6b6bc8)
则称序列
一致收敛到
。
注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中
的选取仅与
相关,而在逐点收敛中
还多了与点
相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。
在[-1,1]上一致收敛到绝对值函数的多项式序列
例子一:对任何
上的连续函数
,考虑多项式序列
![{\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c42121d642d6083418119bbef535f8fd414f848)
可证明
在区间
上一致收敛到函数
。其中的
称为伯恩斯坦多项式。
透过坐标的平移与缩放,可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数,这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。
逐点收敛而非一致收敛的例子
例子二:考虑区间
上的函数序列
,它逐点收敛到函数
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f120ab158bad30a5a4c98606307056ae570d2dc)
然而这并非一致收敛。直观地想像:当
愈靠近
,使
接近
所需的
便愈大。可以依此想法循定义直接证明,也可以利用下节关于连续的性质证明,因为在此例中
皆连续,而
不连续。
让
为一组函数序列,对应域为
或
,此时有下述性质:
- 连续性:若函数序列
均匀收敛至函数
,则有:
- 假设函数序列的定义域是闭包(closure)集合
,且
是
的中的一点。若每个
都在
点连续,则
也在
点连续。
- 若对集合
的每个紧致子集
,每个
都在
上连续,则
在
上连续。
- 与积分的交换:令
为定义在紧致区间
的函数序列,且序列
均匀收敛至函数
。若每个
都是黎曼可积,则
也是黎曼可积,而且
[注 2]
- 与微分的交换:可微函数序列
均匀收敛至函数
,并不能保证
是可微的,还需要对该函数序列的微分,
,做些限制,请参看以下定理:
- 让
为定义在闭区间
的可微函数序列,且存在一点
使得极限
存在(且有限)。若序列的微分
在区间
一致收敛到函数
,则序列
均匀收敛至函数
且
亦是可微函数,且有:
。
- Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
- G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
- Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X