讨论:动量算符

导引 1

一个非相对论性的自由粒子的薛定谔方程式为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \Psi (x,\ t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\ t)\,\!$ 。

其中，$\hbar \,\!$ 是约化普朗克常数，$\Psi (x,\ t)\,\!$ 是粒子的波函数，$x\,\!$ 是粒子的位置，$t\,\!$ 是时间。

这薛定谔方程式的解答是一个平面波：

$\Psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}\,\!$ ，

其中，$k\,\!$ 是波数，$\omega \,\!$ 是角频率。

根据德布罗意假说，自由粒子的波数与动量的关系是

$p=\hbar k\,\!$ 。

可是，

$k\Psi (x,t)={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

因此，

$p\Psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

所以，我们可以认定动量算符为

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

你上面引用p=hk 那是测量后的结果吧? 后来那些推导指式表示还是实际的测量 量p 算子才能和一个线性的算子扯上关系 请原编辑者把书念好!不要乱写!

${\hat {P}}=h/i{\frac {d}{dx}}$ 但是de-Broglie的$p=\hbar k$不会等于${\hat {P}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}$

• 谢谢您的批评指教。我也对这篇文章并不感到满意，可是一直都没有找到修改的时间与迫切性。这几天重新阅读了这篇文章，并且查阅了相关资料，得到许多感想。因此，特将这篇文章加以修改，给予更多的解释，并置入参考来源。不知您觉得如何？恳求您宝贵的意见。— 老陈 (留言) 2010年5月16日 (日) 00:39 (UTC)

• 你好. 这是最新版的内容:

为了要达到此目标，势必要令

${\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!$ 。

所以，可以认定动量算符的形式为

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

你不觉得这样推导是在凑答案吗?

动量算符的推导应该要由古典的平移观念推展开来. 对一个系统进行平移的动作,对称性仍然维持,譬如当你做客把东主的花瓶转了一圈,花瓶的花纹还是被转了回来.:对称不变性(invariance),这是物理普遍的现象不是吗? 动量算符的严密推导要由平移算符开始,没有那么简单.

导引 1

一个非相对论性的自由粒子的薛定谔方程式为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \Psi (x,\ t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\ t)\,\!$ 。

其中，$\hbar \,\!$ 是约化普朗克常数，$\Psi (x,\ t)\,\!$ 是粒子的波函数，$x\,\!$ 是粒子的位置，$t\,\!$ 是时间。

这薛定谔方程式的解答是一个平面波：

$\Psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}\,\!$ ，

其中，$k\,\!$ 是波数，$\omega \,\!$ 是角频率。

根据德布罗意假说，自由粒子的波数与动量的关系是

$p=\hbar k\,\!$ 。

可是，

$k\Psi (x,t)={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

因此，

$p\Psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,t)\,\!$ 。

所以，我们可以认定动量算符为

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

这个推导是正确的吗? 我不相信! 理由很简单,跟Shankar的说法差异太大! 台湾中正物理所某位研究生留

导引 2

在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数：

$p=m{\frac {dx}{dt}}\,\!$ 。

在量子力学里，修正:经由[Ehrenfest theorem]的古典极限,我们知道:$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!$ 。

假设这是正确的(修正:本来就是正确的啊!原编辑者没有把Ehrenfest定理念熟!)，那么，用积分方程式来表达，

$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!$ ；

其中，$\Psi (x,\,t)\,\!$ 是波函数。

• 谢谢您的提醒，可是，经过仔细检阅埃伦费斯特定理，我发现这定理是靠着动量算符与位置算符的正则对易关系来推导出动量期望值与位置的期望值之间的关系。也就是说，这正则对易关系计算已经应用了动量算符的形式。因此，使用埃伦费斯特定理会造成循环论证。所以，不能先使用这定理，只能靠假设来推导。— 老陈 (留言) 2010年5月16日 (日) 00:57 (UTC)

• 你是否有确实读了这段文字?

==经典极限==

在经典极限，$\left\langle -\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx -\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}\,\!$ ，我们可以得到一组完全的量子运动方程式：

${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle \,\!$ ，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}\,\!$ 。

这组量子运动方程式，精确地对应于经典力学的运动方程式：

${\frac {dx}{dt}}=v\,\!$ ，

${\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\,\!$ 。

取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。让我们导引这经典极限是什么？标记 $V\,'(x)\,\!$ 为 ${\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\,\!$ 。泰勒展开 $V\,'(x)\,\!$ 于 $\langle x\rangle \,\!$ ：

$V\,'(x)=V\,'(\langle x\rangle )+(x-\langle x\rangle )V\,''(\langle x\rangle )+{\frac {1}{2}}(x-\langle x\rangle )^{2}V\,'''(\langle x\rangle )+\ \dots \,\!$ 。

由于 $\langle x-\langle x\rangle \rangle =0\,\!$ ，$\langle x-\langle x\rangle \rangle ^{2}=\sigma _{x}^{2}\,\!$ ，

$\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ {\frac {\partial ^{3}V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle ^{3}}}\,\!$ 。

这近似方程式右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，我们就可以取经典极限。而这误差项目的大小相依于两个数量。一个是量子态对于位置的不可确定性；另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

• 之前提及的:$p=m{\frac {dx}{dt}}\,\!$

我之所以说这正确,而非假设是正确,是因为什么? 因为基于以上文字的叙述。当期望值vs.横坐标的分布很窄的时候,不用积分了。量子力学中不是在算期望值的时候会用到积分吗? 当那些分布不用积分的时候,表示退化成古典力学了。所以并不是要去假设他是正确的才能不能用。 你了解我说的意思吗? 如有问题欢迎讨论一番。