草稿:投影点

于座标平面上，点$A(p,q)$与直线$L_{1}:ax+by=c$ 可推得:

1.投影点$(p-{\frac {a(ap+bq-c)}{a^{2}+b^{2}}},q-{\frac {b(ap+bq-c)}{a^{2}+b^{2}}})$

证明:设过A且与L垂直之直线，由两相互垂直的直线斜率相乘=-1， 原直线L之斜率:$m_{L}:-{\frac {a}{b}}$以点斜式$M:y-q={\frac {b}{a}}(x-p)$做整理 $M:y={\frac {b}{a}}(x-p)+q$ 代入$L_{1}$得 $ax+b[{\frac {b}{a}}(x-p)+q]=c$ $a^{2}x+b^{2}x-b^{2}p+abq=ac$ $a^{2}x+b^{2}x=ac+b^{2}p-abq$

$x={\frac {ac+b^{2}p-abq}{a^{2}+b^{2}}}$ $={\frac {ac-a^{2}p+a^{2}p+b^{2}p-abq}{a^{2}+b^{2}}}$

$=p+{\frac {ac-a^{2}p-abq}{a^{2}+b^{2}}}$ $=p-{\frac {a(ap+bq-c)}{a^{2}+b^{2}}}$

同理可证