黑林格-特普利茨定理是数学泛函分析的定理,以德国数学家恩斯特·黑林格和奥托·特普利茨命名。
设
为希尔伯特空间,
是处处定义的对称线性算子,即对任意
都有等式
。
那么,
有界(因此也是连续)。
从闭图像定理可知,只需证明:如果序列
趋于0,
,那么
。因为内积在
上连续,故得
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,y\rangle &=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle \\&=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle \\&=\langle 0,Ty\rangle \\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fc92c693785d12e89c01faf303d7732f733096)
所以
。
- 任何对称且在
上处处定义的算子是自伴算子。
- 无界自伴算子最多只能定义在希尔伯特空间的一个稠密子集上。
物理结果[编辑]
这定理带出了量子力学的数学基础的一些技术难题。量子力学中的可观察量对应到某个希尔伯特空间上的自伴算符,但一些可观察量(如能量)的算符是无界的。这定理说这些算符不能处处定义,只能定义在稠密子集上。
以量子谐振子为例。这时希尔伯特空间是
,即
上平方可积函数空间,能量算符
定义为(设其单位选取使得
)
![{\displaystyle [Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\mbox{d}}^{2}}{{\mbox{d}}x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190f0e157a4fd46f316b1d37953be8485431d052)
这算符是自伴无界的(其特征值为1/2, 3/2, 5/2, ...),所以不能在整个
上定义。
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)