数学中,高斯圆问题(英语:Gauss circle problem)问以原点为中心,
为半径的圆内,有多少个整数点。答案与圆的面积相近,因此,真正的问题是如何准确地描述点数与面积的差异。问题得名自数学家卡尔·弗里德里希·高斯。
考虑
中以原点为中心和以
为半径的一个圆。高斯圆问题询问该圆中有多少个点
使
和
都是整数。由于在笛卡尔坐标系中,这个圆的方程式是
,问题等价于询问有多少对整数
和
使得
![{\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732dd50db08fdc3983dd9061bebf67a489986748)
以
表示输入为
时的答案。以下第一行先列出
由
至
时,
的值,第二行列出
四舍五入到最接近的整数,以作比较:
- 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (OEIS数列A000328)
- 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (OEIS数列A075726)
解决方案和猜想的上下界[编辑]
大概是
,半径范围内的区域
。这是因为平均而言,每个单位正方形包含一个格子点。因此,圆中格子点的实际数量大约等于其面积,
。因此,应该预期
![{\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e2269898a06770a4517527b17ab859bf08087f)
对于某些错误项
具有相对较小的绝对值。找到正确的上限
因此是问题采取的形式。注意
不必是整数。后
一个有
在这些地方
之后它减少(以
),直到下一次增加为止。
高斯设法证明[1]
![{\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ed536a4c78ffb14f566025102984534505df64)
谢尔品斯基将指数改进至
,以大O符号表示,即证明
,约翰内斯·范德科皮特引进了他关于外尔和的估计,从而证明了指数为
的结果(此数略小于
)。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指数为
与
的上界。[2]
未解决的数学问题:设
![{\displaystyle E(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee1487ea5b5cba78e648e2020eed6ac3016bcde)
表示以原点为圆心,
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
为半径的圆,其面积与圆内整点数之差,则使
![{\displaystyle |E(r)|=O(r^{t+\varepsilon })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8982e5cafc063e5f35d8ec50c9898e93ab7c819a)
对一切
![{\displaystyle \varepsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
皆成立的最小
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
值为何?
下界方面,哈代[3]和Landau分别独立证明
![{\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d955c0877cc100da54465cfcc847c79c7972e8)
其中用到小o表示。据推测[4],正确的界线是
![{\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ef4d7bade8361fb936f79bb27f3dd70fd3509e)
设
总成立,则关于
的最小可能值
,目前所知的结果是
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c0297ce080ec9eb6a9f865630638ddca9bdf98)
其中下界是1915年Hardy和Landau所证,上界于2000年由马丁·赫克斯利证明。[5]
确切形式[编辑]
的值可以由几个形式给出,例如以下取整函数表示成以下和式: [6]
![{\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eef71e528bb8ff23f29a82bf2dd240b39edf22f)
这是雅可比二平方和定理的结果,该定理来自雅可比三重积。[7]
如果将平方和函数
定义为将自然数
写为两个整数平方之和的方法数,则
是一个积性函数[8],且可写出较简单的和式:[1]
![{\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f60c952c6d4d334a833f35ffe6beded03ce724b)
Hardy首次发现了以下的最新成果: [9]
![{\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad11553746e7e54cf80899cfa7cbeaaa8c69e4f1)
其中
表示第一种阶数为1的贝塞尔函数。
尽管最初的问题要求在一个圆内的整数点个数,但没有理由不考虑其他形状,例如圆锥形。的确,狄利克雷(Dirichlet)的除数问题是用矩形双曲线替换圆的等价问题。同样,可以将问题从二维扩展到更高的维度,并在球体或其他物体中求整数。关于这些问题有大量文献。如果忽略几何学而仅将问题视为Diophantine不等式的代数之一,则可能会增加问题中出现的指数,从平方到立方,甚至更高次方。
原始圆问题[编辑]
另一个概括是计算互质整数解数量
的不等式
![{\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723e280aeed52046d8a4c1a756c062bf7cf0166d)
此问题称为原始圆问题,因为它涉及搜索原始圆问题的原始解。可以直观地理解为在原点的欧几里得果园中可见多少距离为r的树木的问题。如果表示此类解决方案的数量
然后的值
为了
取小整数值是
- 0,4,8,16,32,48,72,88,120,152,192 (OEIS中的数列A175341)
使用与普通的高斯圆问题相同的方法,以及两个整数互质的几率为
,容易证明
![{\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35b66c925795fbd73f13496648644e07e2b569e)
与普通的圆问题一样,原始圆问题的问题部分在于减少误差项中的指数。如果假设黎曼猜想正确,目前最著名的指数是
。在不假设黎曼猜想正确的情况下,最著名的上限是
![{\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3863918f2c41c0aede7917bc97c1d34f7d281a76)
其中
为正常数 。 [10]特别是,目前不假设黎曼猜想正确的情况下,对于任何
,
的误差项没有限制。
参考文献[编辑]
- ^ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
- ^ 王元. 数学大辞典. 高斯圆问题. Ke xue chu ban she. 2017. ISBN 7-03-053336-4. OCLC 1124964888.
- ^ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283.
- ^ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.
- ^ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254
- ^ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
- ^ Hirschhorn, Michael D. Partial fractions and four classical theorems of number theory. 美国数学月刊. 2000, 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615
. JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002654. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189.
- ^ J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.
外部链接[编辑]