艾多尼数

艾多尼数（Idoneal number），又称合适数（suitable numbers）或方便数（convenient numbers），指的是一个有如次性质的正整数$D$：若对于$D$而言，任何能唯一地表示成$x^{2}\pm Dy^{2}$（其中$x^{2}$和$Dy^{2}$互质）这种形式的正整数，都必然是质数的次方或质数的次方的两倍，则称$D$为艾多尼数。特别地，在$D$是艾多尼数的状况下，任何能非唯一地表示成$x^{2}\pm Dy^{2}$这种形式的正整数，都必然是合成数。所有的艾多尼数都可生成包含无限多个质数、但同时也遗漏无限多个质数的集合。

词源

英语中的“idoneal”一词，来自拉丁语的“idoneus”；而拉丁语的“idoneus”的意思是“合适的、合宜的、方便的”或“足够的”。

定义

一个正整数$D$是艾多尼数，当且仅当不存在三个彼此相异的正整数$a,b,c$，使得$D=ab+bc+ac$。

考虑{ n + k² | 3 . k² ≤ n ∧ gcd (n, k) = 1 }这样的集合是充分的，如果所有集合中的元素都是形如p、p²、2 · p或$2^{s}$这样的数（其中p是质数而s是任意正整数），那么n是艾多尼数。

猜想的完整列表

以下是莱昂哈德·欧拉和卡尔·弗里德里希·高斯发现的65个艾多尼数，而有猜想认为，这65个数就是所有的艾多尼数：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 （OEIS数列A000926）

艾多尼数和复二次域的性质相关；而从彼得·温伯格在1973年的一篇关于复二次域的证明中，可导出说除了上述的艾多尼数外，至多只有两个额外的艾多尼数；而在广义黎曼猜想成立的状况下，上述的艾多尼数就是所有的艾多尼数。此外一些文献声称，温伯格的结果可导出至多只有一个额外的艾多尼数，但这是错误的。

参见

• 未解决的数学问题

参考资料

• Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, pp. 425–430.
• D. A. Cox. Primes of the Form x² + ny². Wiley-Interscience. 1989: 61. ISBN 0-471-50654-0. 
• L. Euler, "An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers", 1806
• G. Frei, Euler's convenient numbers, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 and 64.
• O-H. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rev. 85m:11019]
• G. B. Mathews, Theory of Numbers, Chelsea, no date, p. 263.
• P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", in Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA or, 'My Numbers, My Friends', Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY
• J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• A. Weil, Number theory: an approach through history; from Hammurapi to Legendre, Birkhaeuser, Boston, 1984; see p. 188.
• P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
• Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

外部链接

• K. S. Brown, Mathpages, Numeri Idonei
• M. Waldschmidt, Open Diophantine problems
• 埃里克·韦斯坦因. Idoneal Number. MathWorld.