相交 (几何)

基本定义

在几何学中，相交（Intersection）是指两个或多个几何图形在空间中拥有至少一个公共点的位置关系。相交的公共部分可以是点、线、面或更高维度的几何体，具体取决于图形的类型与维度。

平面几何中的相交

• 直线与直线：在欧氏平面中，两条非平行直线必相交于一点；若两直线平行或重合，则不相交或完全重合。
• 直线与曲线：例如直线与圆相交时，若直线到圆心的距离小于半径，则相交于两点；若等于半径则相切于一点。
• 曲线与曲线：如两圆相交，可能交于一点（相切）或两点。

三维空间中的相交

• 平面与平面：两平面若不平形，则相交于一条直线；若平行则不相交。
• 直线与平面：若直线不平行于平面，则相交于一点。

相交类型与性质

点相交

最简单的相交形式，例如两直线交于一点，或直线与平面交于一点。

线相交

常见于平面或空间中面的交集，例如两平面相交于一条直线，或曲面与平面相交形成曲线。

面相交

三维空间中，两个立体（如立方体）可能相交形成公共平面或曲面区域。

特殊相交形式

• 相切：视为相交的特例，如圆与直线仅接触于一点。
• 垂直：相交形成直角，如坐标轴的交点。

数学表述

• 集合论描述：对于几何对象 $A$ 和 $B$，若其交集 $A\cap B\neq \emptyset$，则称 $A$ 与 $B$ 相交。
• 代数几何中的相交重数：在代数簇的相交理论中，相交点的重数由局部环的Tor函子计算，例如塞尔公式 $\mu (Z;V,W)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}\,{\text{Tor}}_{i}^{O_{X,z}}(O_{X,z}/I,O_{X,z}/J)$。

与其他几何概念的关系

相交 vs. 平行

• 在欧几里得几何中，平行线定义为永不相交的直线。
• 在非欧几何中（如双曲几何），“平行”的定义改变，可能存在多条过线外一点且与原线不相交的直线；而在射影几何中，平行线被视为在“无穷远处”相交。

相交 vs. 包含

若一图形完全位于另一图形内部，则为包含关系而非相交。

应用与计算

• 计算几学：判断矩形是否相交可通过比较顶点坐标的极值，例如若两矩形在坐标轴投影区间均有重叠则相交。
• 地理信息系统（GIS）：相交工具用于提取多层空间数据的公共部分，输出类型可为点、线或面。
• 计算机图形学：光线与物体的相交检测是光线追踪算法的核心步骤。

参见

• 相切
• 平行 (几何)
• 包含关系
• 非欧几何
• 射影几何