在数学中,瑞利商(英语:Rayleigh quotient)定义为:[1][2]
![{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c6f0656cf02c152ae9a877912aa83c7ee10a85)
式中,
为复埃尔米特矩阵,
为非零向量。对实矩阵和向量,对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵,对向量的共轭转置退化为转置。
对所有非零标量
成立。
埃尔米特矩阵(或实对称矩阵)只具有实特征值且可对角化,由此,对于给定矩阵,其瑞利商达到最小值λ(
的最小特征值)当
为
(最小特征值对应的特征向量);类似的:
,
。[2]
瑞利商使用最小最大定理(min-max theorem)获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法(如瑞利商迭代),从特征向量近似值中获得特征值近似值。
在量子力学中,瑞利商给出了状态为
的系统中算子
观测值的期望。
埃尔米特矩阵M的界[编辑]
对于任意向量
,其瑞利商满足
,其中
分别代表矩阵
的最小特征值和最大特征值。观察定义可知,矩阵
的瑞利商等价于其特征值的加权和:
![{\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4473f85e19bf0680172d59f5d08cf5ee3815e03)
其中
![{\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022d25d594d24b831659df4fadd5ed158caf1533)
是第
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
个归一化后的特征值-特征向量对,
![{\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18728e644692e0294a773a1253d8e38459771125)
是
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
在特征基中的第
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
个坐标。可以验证,当
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
为矩阵
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
最小(最大)特征值对应的特征向量
![{\displaystyle v_{\min }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486623019ef451e0582b874018e0249a46e0f996)
(
![{\displaystyle v_{\max }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf002e9839f290d34c839c00894e5ceaa6a9f5f)
)时,
![{\displaystyle R(M,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ed067bb4bc06662d6bdf6210d450779a529ce5)
取值达到其下(上)界。
参考文献[编辑]