欧拉函数 (复变函数)

复数平面上欧拉函数φ的绝对值，黑色部分的值为0，红黑色部分的值为4

在数学上，欧拉函数的定义如下

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数，也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。

性质

欧拉函数的的倒数$1/\phi (q)$展开成形式幂级数，其对应的系数$p(k)$恰好是k的分割函数，亦即

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$

其中$p(k)$为k的分割函数。

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式，其定理如下：

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.$

其中$(3n^{2}-n)/2$为广义五边形数。

依拉马努金恒等式（Ramanujan identity），欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系：

$\phi (e^{2\pi i\tau })=e^{\pi i\tau /12}\eta (\tau )$

上述二个函数都有模群下的对称性。

欧拉函数可以用q阶乘幂表示：

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }.$

欧拉函数的对数是其各乘项对数的和，每一项可以在q = 0处展开，得到

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},$

是系数为-1/n朗伯级数。因此欧拉函数的对数可以表示为

$\ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}$

其中$b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=$ -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...]（参照OEIS A000203）

由于恒等式$\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}$（其中$\sigma (n)$为除数函数），上式可以写成

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}$.

另外，若$a,b\in \mathbb {R} ^{+}$且$ab=\pi ^{2}$，则

$a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).$

特殊值

以下的恒等式是来自斯里尼瓦瑟·拉马努金的笔记：

$\phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$

利用五边形数定理，将求和积分对调，再利用复数解析方式，可以得到：

$\int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.$

参照

• 欧拉函数（也称为欧拉商数）

参考资料

• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929