模糊函数与韦格纳分布的关系

模糊函数(Ambiguity function,AF):
$AF_{s}(\theta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j\theta t}\,dt$

韦格纳分布(Wigner distribution,WD):
$WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j\omega \tau }\,d\tau$

模糊函数与韦格纳分布关系

一个讯号s(t)，自相关函数为 $R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )\,dt$ 如果$R(\tau )$为时间相依性(time-dependent)，则时间相依自相关(time-dependent auto-correlation)为$R(t,\tau )$， 时间相依(时变)频谱(time-dependent spectrum)可以表示的形式类似于传统的功率谱，即对时间相依自相关函数做傅立叶变换。
$P(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,\tau )e^{-j\omega \tau }\,d\tau$
不同的时间相依自相关会导致不同的时间相依功率谱。
如果 $R(t,\tau )=s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$ ，则时间相依功率谱变成为Wigner distribution
若对$R(t,\tau )$中的t做傅立叶逆转换，得到另一个时频表示，对称模糊函数(symmetric ambiguity function,SAF)
$SAF_{s}(\theta ,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta t}\,dt$ 模糊函数反映信号在时间和相位的相关性，并已广泛应用在雷达和声纳系统上。 给一个对称模糊函数$SAF_{s}(\theta ,\tau )$，透过傅立叶变换可以得到时间相依自相关:
$\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t}\,d\theta =s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$ 由上式可以推得
$WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j(\omega \tau +\theta t)}\,d\theta \,d\tau$
也就是对对称模糊函数做两次傅立叶变换可以得到Wigner distribution

范例

一个讯号为两个Gaussian函数的和:
$s(t)=\sum _{i=1}^{2}s_{i}(t)=\sum _{i=1}^{2}{\sqrt[{4}]{\frac {\alpha }{\pi }}}e^{-{\tfrac {\alpha }{2}}(t-t_{i})^{2}+j\omega _{i}t}$
$\Rightarrow SAF_{s}(\theta ,\tau )=\sum _{i=1}^{2}SAF_{si}(\theta ,\tau )+SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )+SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )$

• 其中$SAF_{s1}(\theta ,\tau ),SAF_{s2}(\theta ,\tau )$集中在原点(0,0)，而$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )$集中在$(t_{1}-t_{2},\omega _{1}-\omega _{2})$，而$SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )$相似于$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )$，除了中心点在$(t_{2}-t_{1},\omega _{2}-\omega _{1})$
  • $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-{\tfrac {1}{4\alpha }}(\theta -\omega _{d})^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}(\tau -t_{d})^{2}}e^{j(\omega _{u}\tau -\theta t_{u}+\omega _{d}t_{u})}$ , $t_{u}={\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}}$ , $\omega _{u}={\tfrac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}$ , $t_{d}=t_{1}-t_{2}$ , $\omega _{d}=\omega _{1}-\omega _{2}$

模糊域(ambiguity domain)的auto-term与cross-term

从范例中得知一项重要事实，即为，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term总是集中在原点(0,0)，而cross-term总是在远离原点处，所以可以用一个2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干扰，如下:
$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau$ ,其中$\Phi (\theta ,\tau )$为2D lowpass filter

两高斯信号和之模糊函数与韦格纳分布应对关系

如果$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\theta ,\tau )\,d\theta \,d\tau =\phi (t,\omega )$，则
$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau$
$=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,y)WD_{s}(t-x,\omega -y)\,dx\,dy=SWD(t,\omega )$

• 其中SWD为smoothed Wigner distribution

通常$\Phi (\theta ,\tau )$( 和$\phi (t,\omega )$ )当作kernal function，用来控制SWD的特性。

若Wigner分布和对称模糊函数用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:
$WD_{s1,s2}(t,\omega )=A_{WD}(t,\omega )e^{j\varphi _{WD}(t,\omega )}$
$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=A_{SAF}(\theta ,\tau )e^{j\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )}$
而${\frac {\partial }{\partial \theta }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=-t_{u}$ , ${\frac {\partial }{\partial \tau }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=\omega _{u}$
也就是说对对称模糊函数的相位做偏微分，会等于Wigner分布的时频(time-frequency)中心。
相反地，${\frac {\partial }{\partial \omega }}\varphi _{WD}(t,\omega )=t_{d}$ , ${\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{WD}(t,\omega )=\omega _{d}$
则为对Wigner分布的相位做偏微分，会等于对称模糊函数的中心。

如果$\omega _{1}=\omega _{2}=\omega _{0}$，则
$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[{\tfrac {1}{4\alpha }}\theta ^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}(\tau -t_{d})^{2}]}e^{j(\omega _{0}\tau -\theta t_{u})}$
会集中在$\tau$轴上。

如果$t_{1}=t_{2}=t_{0}$，则
$SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[{\tfrac {1}{4\alpha }}(\theta -\omega _{d})^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}\tau ^{2}]}e^{j[\omega _{u}\tau -(\theta -\omega _{d})t_{0}]}$
会集中在$\theta$轴上。

参考

• Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
• Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
• L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.