在微积分中,柯西主值是为某类原来发散的反常积分指派特定数值的方式,为纪念数学家柯西而得此名。
第一类反常积分[编辑]
第一类反常积分,称为无穷积分,指积分区间的上限或下限为无穷的积分。
设函数 f (x) 在 (–∞,+∞) 上连续且可积。可定义以下第一类反常积分:
,
其中 c 是区间上任意一点。
上式中两个极限皆收敛,这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散,则此积分发散。在这里,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同,即:
。
若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx&=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx\\&=\lim _{R\to +\infty }\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-R}^{R}\\&=\lim _{R\to +\infty }\left({\frac {R^{2}}{2}}-{\frac {R^{2}}{2}}\right)\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4717af1a6bcdacfda2bfdbfb79a4ff9453b55d5e)
根据定义,若无穷积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。
第二类反常积分[编辑]
第二类反常积分,称为瑕积分,指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。
设函数 f (x) 在 (a, b) 上连续且可积,但在点 a 及 b 不连续。可定义以下第二类反常积分:
,
其中 c 是区间上任意一点。
设函数 g (x) 在 [a, c) 及 (c, b]上连续且可积,但在点 c 不连续。可定义以下第二类反常积分:
。
同样地,上式中两个极限皆收敛,这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散,则此积分发散。在这里,两个极限的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同,即:
;
。
若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。
根据定义,若瑕积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。
对于区间上有多个不连续点的积分,可由类似方式定义广义的柯西主值。
混合反常积分[编辑]
有些时候,无穷积分和瑕积分能同时出现。设函数 f (x) 在 (–∞, c) 及 (c, ∞)上连续且可积,但在点 c 不连续。我们能用以下方式计算其柯西主值:
。
计算问题[编辑]
在计算积分的柯西主值时,使用换元积分法可能会导致歧义。例如在计算
时,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx&=\mathrm {PV} \int _{-2}^{0}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx+\mathrm {PV} \int _{0}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\left[-{\frac {1}{x^{2}(5+x)^{2}}}\right]_{-2}^{-\varepsilon }+\left[-{\frac {1}{x^{2}(5+x)^{2}}}\right]_{\varepsilon }^{1}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}(5-\varepsilon )^{2}}}+{\frac {1}{4(5-2)^{2}}}-{\frac {1}{(5+1)^{2}}}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}(5+\varepsilon )^{2}}}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {-20\varepsilon }{\varepsilon ^{2}(5-\varepsilon )^{2}(5+\varepsilon )^{2}}}\\&=-\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c803cd68ef4148bd05c10ef743929040d096fc2f)
但若使用换元
,
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx&=\mathrm {PV} \int _{-6}^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\\&=\mathrm {PV} \int _{-6}^{0}{\frac {2}{u^{3}}}\,du+\mathrm {PV} \int _{0}^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-6}^{-\varepsilon }{\frac {2}{u^{3}}}\,du+\int _{\varepsilon }^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\left[-{\frac {1}{u^{2}}}\right]_{-6}^{-\varepsilon }+\left[-{\frac {1}{u^{2}}}\right]_{\varepsilon }^{6}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}+{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{36}}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\right)\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0669da8794c5c49a8e460c1844f8bc9ea3cff5f4)
在上面的两个结果中,第一个才是正确的。第二个计算方式中,由于使用换元取代时,两个极限的收敛速度改变了。当两者的改变不对称时,就会得到不一样的结果。要避免这样的情形,我们应避免使用换元取代的方法求柯西主值。
名称和记号[编辑]
有些作者会把柯西主值直接叫作“主值”(principal value)。但这和多值函数的主值是没有关系的。
不同作者会使用不同的记号表示积分的柯西主值。以下是常见的记号:
、
、
。
参考文献[编辑]