推迟势

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小则用

r\,\!

来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“

'\,\!

”；源变数的标记的后面有单撇号“

'\,\!

”。

在电磁学里，推迟势指的是，响应含时电荷分布或含时电流分布，而产生的推迟标势或推迟矢势。对于这程序，由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。

理论概念

对于静态的电荷分布和电流分布，电势 $\Phi (\mathbf {r} )$ 和磁矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ 分别定义为

\Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

；

其中， $\mathbf {r}$ 是场位置， $\mathbf {r} '$ 是源位置， $\epsilon _{0}$ 是真空电容率， $\mu _{0}$ 是真空磁导率， $\rho$ 是电荷密度， $\mathbf {J}$ 是电流密度， $\mathbb {V} '$ 是体积分的空间， $d^{3}\mathbf {r} '$ 是微小体元素。

在电动力学里，这两个方程必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间 $t_{r}$ 为检验时间 $t$ 减去电磁波传播的时间：

t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

；

其中， $c$ 是光速。

假设，从源位置 $\mathbf {r} '$ 往场位置 $\mathbf {r}$ 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 $t$ 抵达观测者的场位置 $\mathbf {r}$ ，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 $t_{r}$ 。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 $t$ ，会不同于这电磁波发射的推迟时间 $t_{r}$ 。

推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 与推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 分别用方程定义为

\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

请注意，在这两个含时方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 $t_{r}$ 有关，而不是与时间无关。

这两个含时方程，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间。所以在时间 $t$ 的推迟势必定是由在推迟时间 $t_{r}$ 的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程的正确性与合理性，必须证明它们满足非齐次的电磁波方程^[1]。还有，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程满足洛伦茨规范条件的证明。

非齐次的电磁波方程

含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁矢势，必须遵守达朗贝尔方程，表达为^[2]^:1

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}

、

\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)

。

假若，这些用启发法推理得到的推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 不能满足非齐次的电磁波方程，那么，这些推迟势很可能有重大错误，无法适用于期望的用途（从含时源生成电磁辐射）。

设定 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 为从源位置到场位置的分离矢量：

{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '

。

场位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 和时间 $t$ 都是自变数（independent variable）。分离矢量 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 和其大小 ${\mathfrak {R}}$ 都是应变数（dependent variable），跟场位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 有关。推迟时间 $t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c$ 也是应变数，跟时间 $t$ 、分离距离 ${\mathfrak {R}}$ 有关。

推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

源电荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的全微分是

{\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}

。

注意到

{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}

、

\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

。

所以，源电荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的梯度是

\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

；

其中， ${\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 定义为 ${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}$ 。

将这公式代入，推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的拉普拉斯算符是

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}

；

其中， $\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})$ 是三维狄拉克δ函数。

所以，推迟标势满足非齐次的电磁波方程

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}

。

类似地，可以证明推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 满足非齐次的电磁波方程。

洛伦茨规范条件

给予磁场 $\mathbf {B}$ ，并不是只有一个矢量场 $\mathbf {A}$ 满足条件 $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ 。实际上，有无限多个解答。应用一项矢量恒等式， $\nabla \times (\nabla \lambda )=0$ ，给予任意函数 $\lambda$ ，那么， $\mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda$ 也是一个解答。磁矢势的这种特性，称为规范自由。

物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以便利地解析电磁辐射的生成问题。洛伦茨规范用微分方程表达为

\nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0

。

按照前述方法，可以证明推迟标势 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推迟矢势 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 满足洛伦茨规范。这是一个很好的练习。

广义的含时电磁场

推迟势与电场 $\mathbf {E}$ 、磁场 $\mathbf {B}$ 的关系分别为

\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

、

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

。

按照前述方法，可以得到电场 $\mathbf {E}$ 和磁场 $\mathbf {B}$ 的方程，又称为杰斐缅柯方程^[1]：

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '

。

超前势

定义超前时间 $t_{a}$ 为现在时间 $t$ 加上光波传播的时间：

t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

。

超前标势 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 与超前矢势 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 分别用方程表达为

\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

这两个方程表明，在时间 $t$ 的超前标势与超前矢势，乃是由在超前时间 $t_{a}$ 的源电荷密度或源电流密度产生的。超前标势 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 与超前矢势 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 也满足非齐次的电磁波方程和洛伦茨规范，但它们违反了因果律。这是很严峻的问题，未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里，超前标势和超前矢势只是很有意思的纯理论问题，并没有任何实际用途。

参阅

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.
^ Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

[Griffiths1998-1] 1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.

[KomechKomech2009-2] Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

[1]

[2]

查论编电磁学
静电学	电电荷电场摩擦起电效应静电放电闪电电晕放电尖端放电静电感应静电吸附静电屏蔽库仑定律高斯定律电通量电势能电偶极矩电极化电位移
静磁学	磁安培定律磁场磁感应强度磁场强度磁化强度磁通量毕奥-萨伐尔定律磁矩高斯磁定律磁矢势
电学	电路电流电势电压电阻绝缘体半导体导体超导体欧姆定律串联电路并联电路直流电交流电带电流电动势电容电感阻抗电导波导忆阻器基尔霍夫电路定律
电现象	压电效应压阻效应热电效应光电效应电致发光中高层大气放电
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