截面 (几何)

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几何学和科学中的截面（英语：Cross section），是指一三维空间下的物体和一平面相交所产生的交集。截面的面积称为截面积。将一个物体切成许多片，就会产生多个平行的截面。三维空间中，若截面平行定义此座标的截面，该截面的轮廓称为等高线，例如地势图中的山和与地面平行的平面产生截面，其等高线则表示一群有相冋相对高度地点的集合。

定义

若平面和三维立体相交，则其交集即为截面。

立体截面的形状和截面所在平面和立体的关系而定。例如，球的所有截面都是圆盘，立方体的截面则视平面相对立体的位置而定；若截面平面和立方体的平面平行，其截面形状会是方形，若截面和穿过立方体对角的对角线垂直，截面也可能是一点、三角形或是六边形。

面积

祖暅原理说明若两个固体对应的截面积相等，则其体积相等。

一物体以特定角度观看时的截面积（$A'$）是该物体在此角度下正交投影的总面积。例如一高为h，半径为r的圆柱，若沿着其中心轴，其截面积$A'=\pi r^{2}$，若沿着任一个和中心轴垂直的线，其截面积 $A'=2rh$。一个半径为r的球体，在任意角度下的截面积均为$A'=\pi r^{2}$。一物体的截面积可由下式的曲面积分求得：

$A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,$

其中

$\mathbf {\hat {r}}$为沿着指定方向的单位向量

$d\mathbf {A}$是单位表面积向量，向量方向为往外的法向量。

而且上述积分只针对物体最上方的表面，也就是以观者角度可见的那一面。对于一个凸体的物体，从观者角度到物体的射线都会和物体的表面交会二次。因此上述积分可以以取绝对值的方式，针对整个表面计算，再除以2得到截面积如下：

$A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |$

相关条目

• 工程图
• 分解图
• 画法几何
• 三维投影
• 轮廓量规
• 割面

参考资料

• Swokowski, Earl W., Calculus with analytic geometry Alternate, Prindle, Weber & Schmidt, 1983, ISBN 0-87150-341-7  含有内容需登入查看的页面 (link)