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恰萨尔十四面体

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恰萨尔十四面体
恰萨尔十四面体
类别环形多面体英语Toroidal_polyhedron
对偶多面体希洛西七面体在维基数据编辑
性质
14
21
顶点7
欧拉特征数F=14, E=21, V=7 (χ=0)
亏格1
组成与布局
面的种类2个等边三角形
2个等腰三角形
10个钝角三角形
面的布局
英语Face configuration
3.3.3.3.3.3
对称性
对称群C1, [ ]+, (11)
特性
非凸
图像
立体图

希洛西七面体
对偶多面体

展开图

恰萨尔十四面体是一种可以对应到拓扑环面的非凸多面体,由阿科斯·恰萨尔英语Ákos Császár于1949年发现。[1]这个多面体中间有一个孔洞,由14个不等边三角形组成。特别地,这个多面体不存在对角线,也就是说任两个顶点之间所形成的线段都位于其表面边界上,同时,其也对应到七的顶点的完全图[2]:139-143

性质

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动画展示了恰萨尔十四面体结构以及展开为展开图的过程
恰萨尔十四面体的正交投影图。 在其SVG图像中可用鼠标转动以便观察整个模型

恰萨尔十四面体由14个、21条和7个顶点组成。在这七个顶点中,每个顶点都是6个三角形的公共顶点,其可以分成3组和一个单独的顶点,三组两两相等,与其对偶多面体——希洛西七面体的面对应[3]。在其14个面中,有2个等边三角形、2个等腰三角形和10个钝角三角形。[3]

完全图

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恰萨尔十四面体是一种不存在对角线的流形多面体结构。[1]也就是说,对恰萨尔十四面体的所有顶点而言,任意两个顶点间皆有一条边连接,因此这个多面体不存在任何不在边界上且连接两个顶点的线段。这种性质目前已知仅有正四面体和恰萨尔十四面体拥有。这种性质在图论中称为完全图,也就是说恰萨尔十四面体可以对应到七个顶点的完全图[4][5]

若一个在一个有h个孔洞的环面构建一个边界包含v个顶点的多面体,且所有顶点中任两个顶点间都有边相连,则其部分的欧拉特征数会具有以下关系:[6] 对于零个孔、四个顶点(h=0、v=4)的四面体和1个孔、7个顶点(h=1、v=7)的恰萨尔十四面体都满足这个方程。下一个可能的整数解是6个孔、12个顶点(h=6、v=12)具有44个面和66个条边的多面体。然而目前并不知道是否存在实体的多面体满足这个特性,而非仅能以抽象多面体的方式存在。更无法确定这样的多面体是否能在更高亏格的环面下存在。[7]更一般地,当v除以12余0、3、4或7时,上述等式给出的h值皆为整数。[8]

顶点座标

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恰萨尔十四面体的最短边长为单位长,且几何中心位于原点时,此时7顶点的座标分别为:[9][10]

其中,有正负号者代表两个顶点。在这样的顶点配置下,恰萨尔十四面体21条边中共有8个不同的边长,分别为:(两条边)、10、(四条边)、(两条边)、(两条边)、(两条边)、(两条边)、24(六条边)。[3]

体积与表面积

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若一恰萨尔十四面体最短边长为单位长,则其体积约为8.50517立方单位、表面积为:[11]

平方单位

用途

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恰萨尔十四面体对应的图和其对偶图可以用来查找斯坦纳三元系统(Steiner triple systems)[12][13]

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Császár, A., A polyhedron without diagonals (PDF), Acta Sci. Math. Szeged, 1949, 13: 140–142 [2021-09-08], 原始内容存档于2017-09-18. 
  2. ^ Gardner, Martin, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman and Company, 1988, ISBN 0-7167-1924-X 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Regular Triangular Toroidal Solids: Császár Polyhedron (version 4). dmccooey.com. [2021-07-30]. (原始内容存档于2021-09-08). 
  4. ^ Alexander Bogomolny. Császár Polyhedron. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. [2021-09-08]. (原始内容存档于2021-08-14). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Császár Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  6. ^ Martin Gardner. MATHEMATICAL GAMES. Scientific American (Scientific American, a division of Nature America, Inc.). 1975, 232 (5): 102–108 [2021-09-08]. ISSN 0036-8733. (原始内容存档于2021-09-08). ISSN 1946-7087.
  7. ^ Ziegler, Günter M., Polyhedral Surfaces of High Genus, Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M.; Ziegler, G. M. (编), Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars 38, Springer-Verlag: 191–213, 2008, ISBN 978-3-7643-8620-7, arXiv:math.MG/0412093可免费查阅, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10 
  8. ^ Lutz, Frank H., Császár's Torus, Electronic Geometry Models, 2001: 2001.02.069 [2021-09-08], (原始内容存档于2022-01-19) 
  9. ^ L. Szilassi. On Three Classes of Regular Toroids (PDF). Symmetry: Culture and Science (Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology in Bratislava). 2000, 11 (1–4): 317–335 [2021-09-08]. (原始内容存档 (PDF)于2016-06-09). 
  10. ^ Data of Császár Polyhedron (version 4). dmccooey.com. [2021-09-08]. (原始内容存档于2021-09-08). 
  11. ^ Wolfram, Stephen. "Császár Polyhedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  12. ^ Weisstein, Eric W. (编). Steiner Triple System. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  13. ^ Gardner, Martin. On the Remarkable Császár Polyhedron and Its Applications in Problem Solving,. Scientific American (SCI AMERICAN INC 415 MADISON AVE, NEW YORK, NY 10017). 1975, 232 (5): 102–107.