弱*拓扑是赋范向量空间的对偶空间上的一种拓扑。弱*拓扑的的重要性,在于它使得单位球是紧集(巴拿赫-阿劳格鲁定理);相反地在线性算子范数诱发的拓扑中,单位球未必紧致。(结果成立当且仅当赋范向量空间为有限维。)
在域
(
是
或
)上的赋范空间
中,每一个元素
,都可以定义对偶空间
上的一个线性算子
。弱*拓扑是在
上最弱的拓扑,使得所有这样的
都是连续的。
弱*拓扑可以更具体的定义,在
上给出它的邻域基:对任何
,集合
![{\displaystyle U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28872370b186efb27ab7b8b1e7d494a5e20a4274)
其中
,
,是
的弱*开的邻域基。
弱*拓扑的收敛条件很简单:序列
在弱*拓扑中收敛,如果对任何
都有
,即
逐点收敛到
。弱*收敛记作
。
弱*收敛性比依范数收敛性弱。如果
,其中
是
的范数,则
必然逐点收敛于
,因而有
;但是,
不一定有
,甚至可能
。
半范数[编辑]
对偶空间
加上弱*拓扑是一个局部凸空间,因此可以由给予
一个半范数的系统定义弱*拓扑。对
,
,
构成这样一个半范数的系统。
K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968