希尔伯特第六问题
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希尔伯特第六问题（英语：Hilbert's sixth problem）即公理化物理（axiomatize physics），是希尔伯特的23个问题之一。虽然物理学并非数学，但是两者之间的关系密切，许多物理学上的概念可借由数学来明确化，而数学上有一些东西的灵感也是来自于物理学的研究，微积分就是最著名的例子，因此德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）认为能使用数学上公理化的概念来将物理学给“公理化”，而后来也确实有人进行这项工作，并且也获得了成功，凡举古典力学、几率论、热力学、狭义相对论乃至于量子力学都有人进行公理化的工作。
叙述
[编辑]这问题出现在希尔伯特于1900年列出、并广为引用的希尔伯特问题之列。[2]其陈述翻译成中文如下：
六、物理学公理的数学处理。对几何基础的检视，给出了如次的问题：‘以同样的方式，也就是公理系统的方式，来处理物理中数学占有重要成分的分支；其中的第一层是几率论和力学。’
希尔伯特随后又给出对问题更多的解释及其可能的特定形式：
关于几率论的公理，我认为，对其逻辑的搜寻，应当要伴随着在数学物理的平均值方法方面精确且令人满意的发展，特别地要在气体动力论方面有这样的发展‧‧‧波兹曼在力学原理方面的研究显示说，数学地发展限制过程的问题，可从原子层次观点出发发展出连续体运动定律。
历史
[编辑]希尔伯特本人对第六问题做出了许多贡献；[3]特别地，他在列出这问题后投身于相关领域的物理学研究之中。
1910年代，天体力学演变成广义相对论。希尔伯特和埃米·诺特和爱因斯坦大量通信以讨论这理论的数学。[4]
1920年代，微观系统的力学发展成量子力学，希尔伯特在冯诺伊曼、Lothar Wolfgang Nordheim和尤金·维格纳等人的帮助下开始发展量子力学的公理基础（见希尔伯特空间）。[5]与此同时，狄拉克独立地以接近公理系统的方式发展量子力学公式；此外外尔也在薛定谔的帮助下从事此工作。
1930年代，安德烈·柯尔莫哥洛夫以测度发展出几率论的公理基础。
自1960年代起，由于Arthur Wightman和鲁道夫·哈格等人的研究，一般咸信当代对量子场论的描述已接近公理化。
1990至2000年代，许多数学家开始研究“从原子层次观点出发发展出连续体运动定律的限制过程”的问题，近期主要的发展由Laure Saint-Raymond、[6]Marshall Slemrod、[7]Alexander N. Gorban和Ilya Karlin[8]等人总结。
现状
[编辑]希尔伯特第六问题提议说将公理系统延伸到物理和其他领域等既有数学以外的领域，而其延伸需要物理语义的发展，而其中对物理现实应当进行的形式分析是必要的。[9]以下是描述多数物理基本现象的基础理论：
希尔伯特将广义相对论视为物理的基础成分；[11][12]然而广义相对论在逻辑上与量子场论不相容，这显示说发展现在依旧未知的量子引力是必要的，在其中一般预期物理语义将扮演核心角色。希尔伯特第六问题至今依旧是开放问题。[13]即使如此，近年来这问题助长了对物理基础的研究，其中特别强调逻辑和言语精确性的角色，而这导致了一些有趣的结果，也就是从柯西对微分的定义直接理解不确定性原理及从公理角度出发解开通往任何量子引力路上的语义障碍、[14]解开对等效原理量子测试方面的逻辑恒真式，[15]以及马克士威第一方程式形式上的不可证明问题等。[16]
参见
[编辑]注解
[编辑]- ^ Gorban, Alexander N.; Karlin, Ilya V. Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics. Lecture Notes in Physics (LNP, vol. 660). Berlin, Heidelberg: Springer. 2005. ISBN 978-3-540-22684-0. doi:10.1007/b98103. （原始内容存档于2020-08-19）. Alt URL
- ^ Hilbert, David. Mathematical Problems. Bulletin of the American Mathematical Society. 1902, 8 (10): 437–479. MR 1557926. doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3
.更早的德语原本的文章出现于1900年版《哥廷根快讯》（Göttinger Nachrichten）的第253-297页，以及《数学和物理档案》（Archiv der Mathematik und Physik）第三系列1901年号第一期的第44-63页和的第213-237页中。
- ^ Corry, L. David Hilbert and the axiomatization of physics (1894–1905). Archive for History of Exact Sciences. 1997, 51 (2): 83–198. doi:10.1007/BF00375141.
- ^ Sauer 1999，第6页
- ^ van Hove, Léon. Von Neumann's contributions to quantum theory. Bull. Amer. Math. Soc. 1958, 64 (3): 95–99. MR 0092587. Zbl 0080.00416. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 .
- ^ Saint-Raymond, L. Hydrodynamic limits of the Boltzmann equation. Lecture Notes in Mathematics 1971. Springer-Verlag. 2009. ISBN 978-3-540-92847-8. doi:10.1007/978-3-540-92847-8.
- ^ Slemrod, M. From Boltzmann to Euler: Hilbert's 6th problem revisited. Comput. Math. Appl. 2013, 65 (10): 1497–1501. MR 3061719. doi:10.1016/j.camwa.2012.08.016 .
- ^ Gorban, A.N.; Karlin, I. Hilbert's 6th Problem: exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations. Bull. Amer. Math. Soc. 2014, 51 (2): 186–246. arXiv:1310.0406 . doi:10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
- ^ Gorban, A.N. Hilbert's sixth problem: the endless road to rigour. Phil. Trans. R. Soc. A. 2018, 376 (2118): 20170238. Bibcode:2018RSPTA.37670238G. PMID 29555808. arXiv:1803.03599 . doi:10.1098/rsta.2017.0238 .
- ^ Wightman, A.S. Hilbert's sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics. Felix E. Browder (编). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII. American Mathematical Society. 1976: 147–240. ISBN 0-8218-1428-1.
- ^ Hilbert, David. Die Grundlagen der Physik. (Erste Mitteilung). Nahrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse. 1915, 1915: 395–407 [2025-03-10]. （原始内容存档于2025-03-06）.
- ^ Sauer 1999
- ^ Theme issue Hilbert's sixth problem. Phil. Trans. R. Soc. A. 2018, 376 (2118). doi:10.1098/rsta/376/2118 .
- ^ A. Majhi. Cauchy’s Logico-Linguistic Slip, the Heisenberg Uncertainty Principle and a Semantic Dilemma Concerning “Quantum Gravity”. International Journal of Theoretical Physics. 2022, 61 (3). arXiv:2204.00418 . doi:10.1007/s10773-022-05051-8.
- ^ Majhi, A.; Sardar, G. Scientific value of the quantum tests of equivalence principle in light of Hilbert’s sixth problem. Pramana - J Phys. 2023, 97 (1). arXiv:2301.06327 . doi:10.1007/s12043-022-02504-x.
- ^ A. Majhi. Unprovability of first Maxwell’s equation in light of EPR’s completeness condition: a computational approach from logico-linguistic perspective. Pramana - J Phys. 2023, 61 (4) [2025-03-10]. arXiv:2310.14930 . doi:10.1007/s12043-023-02594-1. （原始内容存档于2024-12-07）.
参考资料
[编辑]- Sauer, Tilman. The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics. Arch. Hist. Exact Sci. 1999, 53 (6): 529–575. Bibcode:1998physics..11050S. Zbl 0926.01004. arXiv:physics/9811050 .
- Wightman, A.S. Hilbert's sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics. Felix E. Browder (编). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII. American Mathematical Society. 1976: 147–240. ISBN 0-8218-1428-1.
外部链接
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