以下逐条检验拓扑的定义:
(1) 等价于“ ”的条件
若 ,则:
(a)
考虑到 ,所以根据有无限并集性质的定理(1)与(2)有
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a373d52d8e36576d7272d350d1f496e90a91531)
但根据无限并集性质的定理(1),(a)又等价于:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4048ceb87ca112eff7397bffe6ac16ef745dffa1)
所以有:
![{\displaystyle X\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3ff7d61dd7e81e623cf3e7ee37fd01d8958ee1)
所以从 有:
(a1)
反之若有 (a1),因为 ,所以有 。故在本定理的前提下,(a1)等价于 。
(2)
首先考虑到 ,然后从无限并集性质的定理(0)有 ,故 。
(3) 对任意 有
首先, 可等价地展开为
(b)
上式可直观地解释成“ 都是 内某些集合的并集”,既然如此,取一个搜集各种不同 的子集的集族 :
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}:=\left\{S\,|\,(\exists A)[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be768e1442ef0a1826cade8ea9e70c1749efed37)
这样根据有限交集的性质, 等价于
![{\displaystyle (\exists S)\left\{(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa7c4580b7a64778683b76bdbee07cd1bfd9347)
考虑到一阶逻辑的定理(Ce),将 移至最前,再将 移入括弧内 ,上式就依据(Equv)而等价于
![{\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (\exists S)\left[(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3a18ea63ef91b939c27cddcc74ef2d1ce939f7)
也就等价于
![{\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge \left(x\in \bigcup [{\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {F}}]\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f287ce7005814bf95f58735a6c4f77f6e903e)
根据无限并集性质的定理(4),从(b)有
![{\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left\{({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {B}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e7dfa1a449ca1b00fb36ebd356e30b6bc90508)
这样根据无限并集性质的定理(1)又会有
![{\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b70ec8450b58f630a1a31a99e1bfcd34d1cc93)
考虑到 ,从无限并集性质的定理(1)与定理(2)有
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14dd5784ae85dce1a3fcf616ad89642805b96916)
所以最后从(b)有
![{\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672b974565a53883ad9caf30ffaf25f62991d076)
所以 最后等价于
![{\displaystyle (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (x\in A)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d96c30244b847ae08f23ea4f0096b7a70781b7c)
换句话说
![{\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52c50c3bbddc0911dcc8567ec37e2f59717bfb7)
这样考虑到 就有
![{\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=\bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5216468cc19e46ed7197710ec79c1a67480051db)
所以在本定理的前提下, 对所有 都有 。
(4)等价于“ 则 ”的条件
若
- “对所有的
有 ”(P)
因取任意 都有:
![{\displaystyle B_{1}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aae5c5d64f6f3a9c37aa0504f935e432070a9f3)
![{\displaystyle B_{2}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387fb8e258022c70c1e5833dc1ed9cb3c9ca55de)
故 ,换句话说从假设(P)可以推出:
- “对所有
, ”(P')
另一方面, 可等价地展开为:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U\cap V=\bigcup {\mathcal {E}}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cab30c13e1dc94505e384eac3739f312e70b44d)
因为 可等价地展开为:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[\left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5659d1a94a17a8c2ef64f8d110fe396b19a68441)
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {B}})\left[\left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a480f645f5c7b2a5fd69de780873aa86200954df)
所以在 的前提下 又可更进一步等价地展开为:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})(\exists {\mathcal {B}})(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}},\,{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge \left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge \left[\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)=\bigcup {\mathcal {E}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc82e0d8e4ddea9b3fbbb6625dc2902b9fd84cd1)
此时考虑到一阶逻辑的定理(Ce),连续使用两次会有:
![{\displaystyle \left[x\in \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)\right]\Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (x\in A\cap B)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9677083fc0f9ea0eed46be3071a0f0278b444b)
这样的话,若取一个包含所有 的集族:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}:=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (S=A\cap B)]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e51dd3a55a827fa811d179305edf37ab1a2fa06)
这样就有:
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d83a67a47b415bef2206594811ca4efb5c94728)
而且考虑到 和 ,所以在(P')的前提下,所有的 都在 里,换句话说, ,故从上小结的结果有:
![{\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2138ffebc49e2c2e8894c9f1b929f89be82c77a9)
所以,(P')跟(P)等价。
综合上面的(a1)、(a2)、和(P'),本定理得证。
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