公平分配博弈

公平分配博弈，是指为若干个分配者分配有限数量的资源时的博弈。当资源为一种物质又可分割时，分配将会很容易进行。但资源种类复杂、不可分，而分配者的喜好各不相同时，分配将会难以进行。例如将17头品种不同的活牛分给三个人。

解决方案

当资源可以分割时，有如下方法分配资源：

• 分配者-选择者：两人参与分配时适用，通俗的说就是分的人后拿。这样他为了不让对方选择多的那份，将会尽量均分资源。

• 单一分配者：三人时适用，由一人分配，剩下的人依次选择。若他们的选择不同，那么分配者再取得最后一份，分配结束。如果选择了同一份，那么分配者在未被选择的两份中随机选取一份，再让两名选择者按分配-选择者方案对剩下两份重新选择。

但这个方法在理论上有缺陷，因为它用到了 "随机选取" 来显现公平性。如果我们允许用随机分配来解这个命题，则答案可以简化为 "由一人分配，随机分给三人；为了不让自己拿到价值最差的一份，分配者必会完全公平。" 如此一来则失去了意义。
可否把 "随机" 拿掉？改为由分配者自行选择一份？答案是不行的。假设资源价值是12，分配者分成{1,5,6}三份。两位选择者都很理性地选择了6那一份，而分配者就可以自行选取5那一份，大于他应得的4(=12 * 1/3)。因此可知单一分配者无法解决本命题。

• 单一选择者：另一种三人分配的方案，两名分配者先按分配-选择者方案将资源均分。然后各自将自己的资源分为三份，选择者从两人的资源中各取一份，分配结束。可以此类推分配至多人以上。

• 最后削减者：先决定众人的顺序后，由第一个人先切割一人份，之后由第二个人来裁定这一份的分量是否太大，如果太大，第二个人可以削减一些以达到他所认定的公平；如果太小或刚好，第二个人就同意通过。再由第三个人继续裁定第二个人削减（或是直接通过）后的分量，以此类推。当所有人都裁定过后，这一份由最后一个对它做过削减的人取得并退出（如果都没有人削减，那第一个人就是最后一个对它做过削减的人）。于是人数会减１，一直循环下去到２个人时即可回归分配-选择者方案。这个方法的公平性在于，每个人在裁定并决定削减时，都不会削减到（该人认定的）公平值以下，因为削减后的结果很可能回到自己身上；但也不可能让该分量的价值在公平值以上，因为这样会让下一个人捡到便宜。所以理性行为便是每个人都会以自己的标准把该分量裁定削减到公平值。

但是，若用一般的“一人切蛋糕，另一人选”的方式，乍看之下好像很公平，但其实并不然，因为分蛋糕的人看来，两块蛋糕各有${\frac {1}{2}}$的价值，但选蛋糕的人看来，两块蛋糕价值的差异可能很大，因此，选蛋糕的人往往能获得超过${\frac {1}{2}}$的价值，举个例子来说，若杨丞琳和林依晨要分一块有一半草莓、一半巧克力的蛋糕，杨丞琳（她只在意蛋糕的大小）在分蛋糕时，把草莓的部分分成一块，巧克力的部分分成另一块，但是，她并不知道，林依晨更偏爱巧克力一些，因此，林依晨就得了她认为超过${\frac {1}{2}}$的价值，在此，较好的分法为，让杨丞琳拿到全部的草莓以及一小部分的巧克力，林依晨则拿到剩余的巧克力部分，这样，两人都会认为自己拿到超过${\frac {1}{2}}$的价值。所以，若要真正公平，就必须先知道每个人的条件，但是，这在现实生活中，是很难做到的，考虑到分蛋糕的双方尔虞我诈的可能性，实现绝对公平几乎是不可能完成的任务。因此，我们只能退而求其次，给“公平”下一个大家普遍能接受的定义，在公平分割问题中，有一个最为根本的公平原则叫做“均衡分割”，它的意思就是，如果有n个人分蛋糕，则每个人都认为自己得到了整个蛋糕中至少${\frac {1}{n}}$的价值，从这个角度来说，“一人切蛋糕，另一人选”的方式是公平的－－在资讯不对称的场合中，获得总价值的一半已经是很让人满意的结果了。

免嫉妒分割

免嫉妒分割是比公平分割还要更难的分割，譬如说：郭静、张韶涵、范玮琪三人要分蛋糕，但郭静只在意蛋糕的大小，张韶涵只在意蛋糕上的巧克力个数，范玮琪只在意蛋糕上的草莓个数，分配后的结果是3人各拿到${\frac {1}{3}}$的蛋糕，但郭静的蛋糕上什么都没有，张韶涵的蛋糕上有一块巧克力和两个草莓，范玮琪的蛋糕上有两块巧克力和一个草莓。虽然每个人都认为自己各拿到了${\frac {1}{3}}$的价值，但这种分法明显是不恰当的－－张、范两人会互相嫉妒。

两人的免嫉妒分法很简单，就让一个人切蛋糕，而让另一人先选。但是，若有三人时，该怎么办呢？

你或许会认为，可以让郭静把蛋糕切成相等的两块，让张韶涵先选，郭静自己后选，然后，两人在各自把自己的那块分成相等的三小块，让范玮琪从两人手中各挑一小块，但是这样会有个问题在：如果范玮琪从张韶涵手中挑的那一小块，刚好就是郭静非常想要的，这样，郭静就会嫉妒她。

为了完全免于嫉妒，当有三个人时，以下是一个好方法：

假设郭静、张韶涵、范玮琪三人要分蛋糕，先让郭静把蛋糕切成她认为相等的三块（设为A、B、C，在她眼中，A=B=C）。接下来轮到张韶涵，如果她认为三块蛋糕中较大的两块（设为A及B）是一样大的，她就不去碰任何一块蛋糕；否则，假如说她觉得有一块（设为A）比其他两块都大，她可以从这块上面再切一小块（设为D）下来，好让剩余的部分跟其余两块中的较大块（设为B，在张韶涵眼中，(A-D)=B≥C）大小相等。接着，依照范玮琪、张韶涵、郭静的顺序依次选蛋糕（要分的蛋糕是(A-D)、B、C），但有一项限制，如果范玮琪没有选(A-D)，张韶涵就一定要选(A-D)。

此时，由于郭静拿到的是B或C，而在她眼中，B=C≥(A-D)，所以，她没有理由嫉妒别人；而张韶涵拿到的是(A-D)或B，而在她眼中，(A-D)=B≥C，所以她也不会去嫉妒其他人；而由于范玮琪是第一个选蛋糕的人，她不可能去嫉妒别人，所以，第一步骤的问题解决了！

接下来，还要分蛋糕D（如果有的话），在张韶涵和范玮琪中，一定有一人选了(A-D)，令此人为X，另一人为Y，让Y来把D分成相等的三小块，再依X、郭静、Y的顺序依次选蛋糕。由于X是第一个选的人，她不会去嫉妒别人；而由于郭静比Y早选蛋糕，故她不会嫉妒Y；再者，她（指郭静）也不会嫉妒X的，因为即使X拥有全部的蛋糕D，她总共拥有的蛋糕也只是(A-D)+D=A而已，而郭静总共拥有的蛋糕≥B（或C），而在郭静眼中，A=B=C；而由于Y是切蛋糕的人，在她看来哪块都一样，所以她也不会去嫉妒别人。分配就到此结束，皆大欢喜！

四人或以上的免嫉妒分割问题，至今仍无解。

参见

• 资源分配