投射维度、内射维度与同调维度(又称整体维度)是交换代数中考虑的重要不变量。
以下设
为交换环,而
为
-模。
的内射维度
定义为其内射分解的最短长度(当
时置
)。投射维度
则定义为其投射分解的最短长度。
利用同调代数的工具,可以进一步得到下述刻划:
命题一. 设
为整数,下述条件等价:
。
- 对所有
-模
,有
。
- 对所有理想
,有
。
- 对所有正合序列
,若每个
都是内射模,则
也是内射模。
命题二. 设
为整数,下述条件等价:
。
- 对所有
-模
,有
。
- 对所有正合序列
,若每个
都是投射模,则
也是投射模。
当
为诺特环而
为有限生成
-模时,上述条件更等价于
- 对所有极大理想
,有 ![{\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a560e2d91c7a06e482c932288c25f23700e34)
- 对所有极大理想
,有 ![{\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c04e2cf962373f93f05a588a0458ef83c8a63a3)
由此可定义环
的同调维度
为:
![{\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168ff105404e127f724949ee96db26e1ec15290a)
![{\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea37640ba1cf8f81d0d0365c5d518828e53a87b)
- 存在
-模
使得
的最大整数
(可能是无穷大)。
内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系:
![{\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1dc1487170cb2e718ea11cdb11a443e4054eba)
![{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c91dec2e88ae679b7cfe73f3c1ae04fb69c2d3)
其中的
取遍
的所有素理想(或极大理想),而投射维度给出
的上半连续函数。事实上,仅须考虑
的支撑集中的素理想。
由此立刻得到
。
此外,它们与模的深度也有密切的关系,例如:
定理 (Auslander-Buchsbaum):设
为局部诺特环,
为有限生成
-模,而且其投射维度有限,则
![{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e91aa7be40a106f0f03b25a829400f2b372472)
定理:设
为局部诺特环,
为有限生成
-模,而且其内射维度有限,则
![{\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0edd3f13c70b7c992a0a01cb033b71891fec501)
最后,同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划:
定理(Serre):一个局部诺特环
是正则局部环的充要条件是
,此时
。