User:Solovay-Kitaev/克利福德门

在量子计算和量子信息理论中，克利福德门（英語：Clifford gates）是克利福德群的元素。克利福德群是一组数学变换，它通过共轭运算正规化 $n$-量子比特泡利群，即将泡利矩阵的张量积映射到泡利矩阵的张量积。这个概念由丹尼尔·戈特斯曼（Daniel Gottesman）引入，并以数学家威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）的名字命名。 仅由克利福德门组成的量子电路可以由经典计算机有效地模拟，这归功于戈特斯曼-克尼尔定理。

克利福德群由三个门生成：阿达马门、相位门 $S$（phase gate S）和CNOT门。 这组门是最小的，因为丢弃任何一个门都会导致无法实现某些克利福德操作：移除阿达马门会使得酉矩阵表示中无法出现 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ 的幂；移除相位门 $S$ 会使得酉矩阵中无法出现 $i$；移除CNOT门会将可实现操作的集合从 $\mathbf {C} _{n}$ 减少到 $\mathbf {C} _{1}^{n}$。由于所有泡利矩阵都可以由相位门和阿达马门构造出来，因此每个泡利门也自然是克利福德群的元素。

因为 $Y$门等于 $X$门和 $Z$门的乘积。要证明一个酉操作 $U$ 是克利福德群的成员，只需证明对于所有仅由 $X$ 和 $Z$ 的张量积组成的 $P\in \mathbf {P} _{n}$（其中 $\mathbf {P} _{n}$ 指 $n$-量子比特泡利群），都有 $UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}$ 即可。

常用生成门

阿达马门

阿达马门（Hadamard gate）： $$H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$$ 是克利福德群的成员，因为 $HXH^{\dagger }=Z$ 且 $HZH^{\dagger }=X$。

$S$ 门

相位门 $S$（Phase gate $S$）： $$S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}$$ 是克利福德门，因为 $SXS^{\dagger }=Y$ 且 $SZS^{\dagger }=Z$。

CNOT门

CNOT门作用于两个量子比特。它是一个受控非门（Controlled NOT gate），当且仅当第一个量子比特处于 $|1\rangle$ 态时，才对第二个量子比特执行非门操作。 $$\mathrm {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}$$ 对于泡利算符 $X$ 和 $Z$，通过CNOT门共轭的效果如下：

CNOT门作用下的泡利算符变换

$P$	$\mathrm {CNOT} \ P\ \mathrm {CNOT} ^{\dagger }$
$X\otimes I$	$X\otimes X$
$I\otimes X$	$I\otimes X$
$Z\otimes I$	$Z\otimes I$
$I\otimes Z$	$Z\otimes Z$

构建通用量子门集合

克利福德门本身并不构成通用量子门集，因为一些克利福德群外的门无法通过有限集合的操作被任意精度地近似。一个例子是相位偏移门（phase shift gate）（历史上称为 $\pi /8$ 门或 $T$ 门）： $$T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}$$ 下式表明 $T$门不会将泡利-$X$门映射到另一个泡利矩阵： $$TXT^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{-i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&e^{-i{\frac {\pi }{4}}}\\e^{i{\frac {\pi }{4}}}&0\end{bmatrix}}\notin \mathbf {P} _{1}$$ （其中 $\mathbf {P} _{1}$ 指单量子比特泡利群）。

然而，克利福德群在加入 $T$门后，就构成了用于量子计算的通用量子门集。 此外，单量子比特$Z$轴旋转（Z-angle rotations）的精确、最优线路实现也是已知的。

参见

• 魔术态蒸馏
• 克利福德代数