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立法委員資歷排名

  中國國民黨 (52)       民主進步黨 (51)       台灣民眾黨 (8)       無黨籍 (2)

排名	立法委員		黨派		本屆選區	任職日期	資歷	領導職位
1		柯建銘		民主進步黨	全國不分區選舉區	1993年2月1日—至今	7004117870000000000♠32年99天	民進黨黨團總召
2		羅明才		中國國民黨	新北市第十一選舉區	1999年2月1日—至今	7003959600000000000♠26年99天
3		林德福		中國國民黨	新北市第九選舉區	2002年2月1日—至今	7003850000000000000♠23年99天
3		高金素梅 Ciwas Ali		無黨籍	山地原住民選舉區	2002年2月1日—至今	7003850000000000000♠23年99天
3		賴士葆		中國國民黨	臺北市第八選舉區	2005年2月1日—至今 1999年2月1日—2002年1月31日	7003850000000000000♠23年99天
6		楊瓊瓔		中國國民黨	臺中市第三選舉區	2020年2月1日—至今 1999年2月1日—2016年1月31日	7003813500000000000♠22年99天
7		林岱樺		民主進步黨	高雄市第四選舉區	2011年3月11日—至今 2002年2月1日—2008年1月31日	7003773100000000000♠21年61天
8		林淑芬		民主進步黨	新北市第二選舉區	2005年2月1日—至今	7003740400000000000♠20年99天
8		邱議瑩		民主進步黨	高雄市第一選舉區	2008年2月1日—至今 2002年2月1日—2005年1月31日	7003740400000000000♠20年99天
10		陳瑩 Asenay Daliyalrep		民主進步黨	平地原住民選舉區	2016年2月1日—至今 2005年2月1日—2012年1月31日	7003594300000000000♠16年99天
11		傅崐萁		中國國民黨	花蓮縣選舉區	2020年2月1日—至今 2002年2月1日—2009年12月20日	7003480500000000000♠13年57天	國民黨黨團總召
12		韓國瑜		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今 1993年2月1日—2002年1月31日	7003375200000000000♠10年99天	立法院院長
13		莊瑞雄		民主進步黨	全國不分區選舉區	2015年2月16日—至今	7003373700000000000♠10年84天
14		張嘉郡		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今 2008年2月1日—2016年1月31日	7003338700000000000♠9年99天
14		王育敏		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今 2012年2月1日—2020年1月31日	7003338700000000000♠9年99天
16		沈發惠		民主進步黨	全國不分區選舉區	2020年2月1日—至今 2005年2月1日—2008年1月31日	7003302100000000000♠8年99天
17		伍麗華 Saidhai Tahovecahe		民主進步黨	山地原住民選舉區	2020年2月1日—至今	7003192600000000000♠5年99天
17		羅美玲		民主進步黨	全國不分區選舉區	2020年2月1日—至今	7003192600000000000♠5年99天
17		范雲		民主進步黨	全國不分區選舉區	2020年2月1日—至今	7003192600000000000♠5年99天
17		林楚茵		民主進步黨	全國不分區選舉區	2020年2月1日—至今	7003192600000000000♠5年99天
17		蘇清泉		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今 2012年2月1日—2016年1月31日	7003192600000000000♠5年99天
17		柯志恩		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今 2016年2月1日—2020年1月31日	7003192600000000000♠5年99天
17		黃國昌		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今 2016年2月1日—2020年1月31日	7003192600000000000♠5年99天	民眾黨黨團總召
24		陳培瑜		民主進步黨	全國不分區選舉區	2023年2月6日—至今	7002825000000000000♠2年94天
25		黃仁 Kin Cyang		中國國民黨	平地原住民選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		盧縣一 Sasuyu Ruljuwan		中國國民黨	山地原住民選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		林月琴		民主進步黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		沈伯洋		民主進步黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		張雅琳		民主進步黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		郭昱晴		民主進步黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		葛如鈞		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		翁曉玲		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		陳菁徽		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		吳宗憲		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		林倩綺		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		陳永康		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		許宇甄		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		謝龍介		中國國民黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		黃珊珊		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		陳昭姿		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		吳春城		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		麥玉珍		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		林國成		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		林憶君		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
25		張啓楷		臺灣民眾黨	全國不分區選舉區	2024年2月1日—至今	7002465000000000000♠1年99天
46		王正旭		民主進步黨	全國不分區選舉區	2024年2月19日—至今	7002447000000000000♠1年81天
47		王義川		民主進步黨	全國不分區選舉區	2024年12月2日—至今	7002160000000000000♠160天

內閣成員亂猜

林佳龍內閣成員

頭銜	肖像	姓名	就任日期	備註
行政院院長		鄭麗君 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
行政院副院長		林佳龍 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
行政院秘書長	[[|center|110px]]	[[]] （無黨籍）	2019年1月14日
政務委員		林依瑩 （ 時代力量）	2024年5月20日
政務委員		楊珍妮 （無黨籍）	2024年5月20日	兼任行政院經貿談判辦公室總代表
政務委員		林麗瓊 （無黨籍）	2024年5月20日	兼任國家科學及技術委員會主任委員
政務委員		董建宏 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
政務委員		羅秉成 （無黨籍）	2017年9月20日	賴清德內閣續任
政務委員		楊明州 （無黨籍）	2024年5月20日	兼任公共工程委員會主任委員
政務委員		林右昌 （ 民主進步黨）	2024年5月20日	兼任國家發展委員會主任委員 陳建仁內閣成員轉任
政務委員		林志嘉 （ 台灣團結聯盟）	2024年5月20日
內政部部長		鄭文燦 （ 民主進步黨）	2024年5月20日	陳建仁內閣成員轉任
外交部部長		吳釗燮 （ 民主進步黨）	2018年2月26日	賴清德內閣續任
國防部部長		黃曙光 （無黨籍）	2024年5月20日
財政部部長		莊翠雲 （無黨籍）	2023年1月31日	陳建仁內閣續任
教育部部長		蘇慧貞 （無黨籍）	2024年5月20日
法務部部長		陳明堂 （無黨籍）	2024年5月20日
經濟部部長		龔明鑫 （無黨籍）	2024年5月20日	第二次蘇貞昌內閣成員轉任
交通部部長		林智堅 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
文化部部長		王時思 （無黨籍）	2024年5月20日
衛生福利部部長		賴瓊慧 （無黨籍）	2024年5月20日
勞動部部長		許銘春 （ 民主進步黨）	2018年2月26日	賴清德內閣續任
數位發展部部長		吳銘軒 （無黨籍）	2024年5月20日
農業部部長		蔡培慧 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
環境部部長		田秋菫 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
國家科學及技術委員會主任委員		林麗瓊 （無黨籍）	2024年5月20日	兼任政務委員
國家發展委員會主任委員		林右昌 （ 民主進步黨）	2024年5月20日	兼任政務委員 陳建仁內閣成員轉任
大陸委員會主任委員		吳峻鋕 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
金融監督管理委員會主任委員		王美花 （無黨籍）	2024年5月20日	第二次蘇貞昌內閣成員轉任
海洋委員會主任委員		管碧玲 （ 民主進步黨）	2023年1月31日	陳建仁內閣續任
僑務委員會委員長		李姸慧 （ 民主進步黨）	2024年5月20日
國軍退除役官兵輔導委員會主任委員		馮世寬 （ 中國國民黨）	2019年8月5日	第二次蘇貞昌內閣續任
原住民族委員會主任委員		謝若蘭 Bavaragh Dagalomai （無黨籍）	2024年5月20日
客家委員會主任委員		楊長鎮 （ 民主進步黨）	2020年5月20日	第二次蘇貞昌內閣續任
行政院公共工程委員會主任委員		楊明州 （無黨籍）	2024年5月20日	尚未改造之部會 兼任政務委員
行政院主計總處主計長		[[]] （無黨籍）	2024年5月20日
行政院人事行政總處人事長		郝培芝 （無黨籍）	2024年5月20日
國立故宮博物院院長		蕭宗煌 （無黨籍）	2023年1月31日	陳建仁內閣續任
行政院發言人		林靜儀 （ 民主進步黨）	2024年5月20日

歷任大法官任職時間表（第四次修憲後）【版本一】

歷任大法官任職時間表【版本二】

全部

1997年，國民大會進行第四次修憲，訂定自2003年起，司法院院長及副院長須由大法官兼任。在此之前，司法院院長及副院長為專任職位，任職者並不具大法官身分。為易於理解歷史脈絡，曾任大法官，後轉任司法院院長及副院長者，仍一併列入時間表內供參考。

• 有年份無月日者，推定為7月1日；有月份無日期者，推定為15日
• 部分大法官
• 1952年的，官職資料庫寫3月19日，憲法法庭寫4月

修憲前

編輯註解（暫時）

• 有年份無月日者，推定為7月1日；有月份無日期者，推定為15日
• 部分大法官未至台灣，故未繼續履職
• 1952年的，官職資料庫寫3月19日，憲法法庭寫4月
• 第三屆任期尚未修正

第四次修憲後

2024總統大選相關事件

相關事件

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|rowspan="2"|2023年11月23日||rowspan="2"; style="background:#000099;"| ||style="background:#28C8C8;"| ||rowspan="2"|藍、白、郭三方會談||rowspan="2"|1
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|style="background:#8564D2;"|

2024年中華民國總統選舉競選過程
日期	事件	備註
2023年1月15日	賴清德當選民進黨主席	由民主進步黨中央執行委員會公告。
2023年3月22日	國民黨通過採徵召方式完成總統提名	由中國國民黨中央常務委員會通過。
2023年4月8日至4月28日	柯文哲訪問美國	柯文哲在行程中走訪紐約、波士頓、華盛頓及休士頓，期間與前美國國務卿麥克·龐培歐見面，並進入美國在台協會華盛頓總部。
2023年4月12日	賴清德獲民進黨提名	由民主進步黨中央執行委員會公告。
2023年4月28日	臺灣政治劇《人選之人—造浪者》首播	劇中講述政黨幕僚為了選戰面臨各種艱難抉擇，並歷經選情的驚濤駭浪。本劇在爆紅以後引發了後續影響，包含臺灣#MeToo運動，以及劇中飾演總統候選人林月真的演員賴佩霞參與總統、副總統選舉。
2023年5月起	新北幼兒園餵藥案	新北市板橋區的私立幼兒園遭控教師疑似餵食兒童巴比妥酸鹽類及苯二氮平類等毒品。新北地檢署因該園兒童毛髮檢驗均未檢出毒物成分、證據不足，對於相關人士均不起訴處分。數月後，高檢署偵查完認為新北地檢署有調查不完備之處，將該案發回續查。
2023年5月17日	侯友宜獲國民黨徵召	由中國國民黨中央常務委員會通過。
	柯文哲獲民眾黨提名	由台灣民眾黨中央委員會公告。
2023年5月31日起	臺灣#MeToo運動	民進黨前黨工指控曾經遭遇到職場性騷擾，但並未得到主管妥善協助處理，甚至遭到隱匿案情、職場霸凌。相關案件引發賴清德致歉，多位被揭發造成類似案件的涉案者亦辭去現職。其後在臺灣形成#MeToo效應，相繼爆出過去曾經遭到性騷擾的指控，案件除了涉及國民黨、民眾黨等主要政黨外，也擴及至媒體、演藝、藝文、學術教育等場域。
2023年7月16日	716公平正義遊行	遊行由前立法委員黃國昌與「館長」陳之漢發起，主要目的為訴求居住正義與司法正義。賴清德、侯友宜、柯文哲、郭台銘皆受邀，除了賴清德以外的其餘三位皆有到場參與。
2023年7月23日	侯友宜獲國民黨正式提名	由中國國民黨全國代表大會通過。
2023年8月12日至8月18日	賴清德訪問巴拉圭並過境美國	賴清德以特使身分出席巴拉圭總統就職典禮，並過境美國紐約及舊金山。過境美國期間，賴清德與美國在台協會主席蘿拉·羅森伯格於僑宴上會面。
2023年8月20日	還路於民大遊行	遊行由社運人士吳宜蒨（YC Wu）發起，主要目的為喚醒政府重視人本交通，改善交通現況、終結行人地獄，並追求台灣「交通零死亡」願景。賴清德、侯友宜、柯文哲、郭台銘皆受邀並到場參與。
2023年8月21日	賴清德登上《彭博商業周刊》封面	賴清德登上美國《彭博商業周刊》封面人物，以「他想領導台灣。但他能維持和平嗎？」為標題。
2023年8月28日	郭台銘宣布獨立參選	郭台銘在爭取國民黨徵召未果後，在「主流民意大聯盟記者會」上宣布參選，並展開連署。
2023年9月13日	公民連署日程開始	共有10組登記為總統、副總統被連署人。
2023年9月14日	賴佩霞擔任郭台銘副手	資深藝人、歌手、作家賴佩霞，擔任郭台銘的副總統被連署人。
2023年9月14日至9月22日	侯友宜訪問美國	侯友宜在行程中走訪紐約、紐澤西、華盛頓、舊金山，期間與紐約市市長艾瑞克·亞當斯、美國在台協會主席蘿拉·羅森伯格見面，並進入美國在台協會華盛頓總部。
2023年9月20日	郭台銘首波連署總站成立	首波連署總站分布於全台10個縣市，郭台銘與賴佩霞現身新北板橋連署總站進行連署。
2023年9月22日	屏東明揚工廠大火	屏東科技產業園區的明揚工廠發生火災，造成6名員工死亡、4名消防員殉職，並導致111人受傷。各主要政黨皆暫時停止選舉行程。
2023年10月1日至10月5日	柯文哲二度訪問美國	柯文哲在行程中走訪舊金山與洛杉磯。
2023年10月10日	候選人出席國慶大會	賴清德、柯文哲出席總統府府前廣場舉行的「中華民國中樞暨各界慶祝112年國慶大會」。在前總統馬英九拒絕出席總統府國慶大會，以及立法院國民黨黨團號召不參加之下，侯友宜、郭台銘皆未出席。
2023年10月14日	藍白合會前會	柯文哲競選總幹事黃珊珊、競選辦公室主任周榆修，與侯友宜競選辦公室執行長金溥聰、國民黨秘書長黃健庭於臺北福華大飯店進行協商。會後雙方未達成共識。
2023年10月21日	賴清德全國競選總部成立	賴清德全國暨臺北市競選總部成立，總統蔡英文亦到場參與。
2023年10月30日	藍白合第一次政黨協商	國民黨黨主席朱立倫、國民黨副秘書長江俊霆，與柯文哲、周榆修於市長官邸藝文沙龍進行協商。會後針對雙方有共識的觀點發表聲明，未討論到總統人選。
2023年11月2日	柯文哲全國競選總部成立	柯文哲全國競選總部成立。
2023年11月7日	姚立明擔任賴清德競選主委	前立法委員、前柯文哲台北市市長競選總幹事姚立明擔任賴清德全國競選總部主任委員。
2023年11月14日	公民連署結果公布	中選會公布總統、副總統選舉連署結果，郭台銘與賴佩霞以902,389份合格連署書完成連署，獲得登記參選資格；其餘9組登記為總統、副總統被連署人皆未完成連署。
	郭台銘與賴佩霞通過公民連署
2023年11月15日	拜習會	在亞太經濟合作會議（APEC）峰會登場前，美國總統喬·拜登與中國國家主席習近平在舊金山進行會談。會中拜登強調台海和平穩定的重要性，並要求中國尊重台灣選舉進程，不希望有任何形式的干預；習近平提到北京方面希望和平統一，但否認在2027年或2035年對台灣採取軍事行動的計畫。
	藍白合第二次政黨協商	馬英九與柯文哲、侯友宜及朱立倫於馬英九基金會進行協商會議，會後發表協商共識，國民黨、民眾黨兩黨將以民調形式共推出一組總統、副總統候選人。原定於11月18日公布結果，但由於各方對民調誤差理解出現歧異，故未能公布合作結果。
2023年11月20日	蕭美琴擔任賴清德副手	前立法委員、中華民國駐美代表蕭美琴，擔任賴清德的副總統候選人。

歷任民主進步黨主席履職時間表

時間軸1

時間軸2

數學式

${\begin{alignedat}{4}&\left({\frac {2^{a}}{2^{b}}}\right)^{c}\cdot \left({\frac {2^{b}}{2^{c}}}\right)^{a}\cdot \left({\frac {2^{c}}{2^{a}}}\right)^{b}\\&=\left({\frac {2^{ac}}{2^{bc}}}\right)\cdot \left({\frac {2^{ab}}{2^{ac}}}\right)\cdot \left({\frac {2^{bc}}{2^{ab}}}\right)\\&={\frac {2^{ac}\cdot 2^{ab}\cdot 2^{bc}}{2^{bc}\cdot 2^{ac}\cdot 2^{ab}}}\\&=1\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}1.&{\text{ }}{\overline {X}}={\frac {\sum _{}X_{i}}{N}}\\[3mm]&(1){\text{ }}{\color {Red}{\overline {X+c}}}={\frac {\sum _{}(X_{i}+c)}{N}}={\frac {(\sum _{}X_{i})+Nc}{N}}={\frac {\sum _{}X_{i}}{N}}+c={\color {Red}{\overline {X}}+c}\\[1.5mm]&(2){\text{ }}{\color {Red}{\overline {cX}}}={\frac {\sum _{}(cX_{i})}{N}}={\frac {c(\sum _{}X_{i})}{N}}={\color {Red}c{\overline {X}}}\\[3mm]2.&{\text{ }}S_{X}^{2}={\frac {\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}\\[3mm]&(1){\text{ }}{\color {Red}S_{(X+c)}^{2}}={\frac {\sum _{}\left[(X_{i}+c)-({\overline {X}}+c)\right]^{2}}{N}}={\frac {\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}={\color {Red}S_{X}^{2}}\\[1.5mm]&(2){\text{ }}{\color {Red}S_{cX}^{2}}={\frac {\sum _{}(cX_{i}-c{\overline {X}})^{2}}{N}}={\frac {c^{2}\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}={\color {Red}c^{2}S_{X}^{2}}\\[3mm]3.&{\text{ }}S_{X}={\sqrt {\frac {\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}}\\[3mm]&(1){\text{ }}{\color {Red}S_{(X+c)}}={\sqrt {\frac {\sum _{}\left[(X_{i}+c)-({\overline {X}}+c)\right]^{2}}{N}}}={\sqrt {\frac {\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}}={\color {Red}S_{X}}\\[1.5mm]&(2){\text{ }}{\color {Red}S_{cX}}={\sqrt {\frac {\sum _{}(cX_{i}-c{\overline {X}})^{2}}{N}}}={\sqrt {\frac {c^{2}\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}}={\sqrt {c^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {\sum _{}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}{N}}}={\color {Red}|c|\,S_{X}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}1.&{\text{ [15 points] True or False (No need to prove).}}\\[3mm]&{\text{ Let }}A,B{\text{ be sets and let }}{\mathcal {P}}(A){\text{ denoted the power set of }}A{\text{, then:}}\\[1.5mm]&(1){\text{ If }}A\nsubseteq B,{\text{ then }}B\subseteq A.\\&(2){\text{ }}\varnothing \subseteq {\mathcal {P}}(A).\\&(3){\text{ }}\varnothing \in {\mathcal {P}}(A).\\&(4){\text{ }}A\subseteq {\mathcal {P}}(A).\\&(5){\text{ }}A\in {\mathcal {P}}(A).\\&(6){\text{ If }}{\mathcal {P}}(A)\subseteq {\mathcal {P}}(B),{\text{ then }}A\subseteq B.\\&(7){\text{ If }}A\subseteq B,{\text{ then }}{\mathcal {P}}(A)\subseteq {\mathcal {P}}(B).\\&(8){\text{ }}{\frac {1}{2}}\in \left\{{\big \{}{\frac {1}{2}}{\big \}}\right\}.\\&(9){\text{ }}\left\{{\frac {1}{2}}\right\}\subseteq \left\{{\big \{}{\frac {1}{2}}{\big \}}\right\}.\\&(10){\text{ Every set has at least two subsets.}}\\[3mm]&{\text{ Let }}P{\text{ be a tautology and let }}Q{\text{ be a contradiction, then:}}\\[1.5mm]&(11){\text{ }}P\lor Q{\text{ is a tautology.}}\\&(12){\text{ }}(\neg P\lor Q)\to (P\land Q){\text{ is a tautology.}}\\&(13){\text{ }}(Q\to P)\to (P\land \neg Q){\text{ is a tautology.}}\\&(14){\text{ }}(P\land Q)\to R{\text{ is a tautology.}}\\&(15){\text{ }}(P\leftrightarrow Q){\text{ and }}(P\land \neg P){\text{ are equivalent.}}\\[3mm]5.{\text{ }}&{\text{(a) [3 points] State the Archimedean Property.}}\\&{\text{(b) [12 points] Find }}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }^{}\left[1-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right){\text{, then prove your answer.}}\\[3mm]6.&{\text{ [50 points] Give the truth values for following statements.}}\\&{\text{ If it is true, prove it. If it is false, give a counterexample. }}\\[3mm]&{\text{ Let }}A,B,C,D,E{\text{ be nonempty sets and }}A\neq B{\text{, then:}}\\[1.5mm]&(1){\text{ }}{\mathcal {P}}(A\cap B)={\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {P}}(B).\\&(2){\text{ }}{\mathcal {P}}(A\cup B)={\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B).\\&(3){\text{ }}{\mathcal {P}}(A\setminus B)={\mathcal {P}}(A)\setminus {\mathcal {P}}(B).\\&(4){\text{ The union of elements in }}{\mathcal {P}}(A){\text{ is }}A.\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&23^{10}\\=&(2+7\times 3)^{10}\\=&\mathrm {C} _{0}^{10}\cdot 2^{10}+\mathrm {C} _{1}^{10}\cdot 2^{9}\cdot (7\times 3)+\mathrm {C} _{2}^{10}\cdot 2^{8}\cdot (7\times 3)^{2}+\cdots +\mathrm {C} _{10}^{10}\cdot (7\times 3)^{10}\\=&2^{10}+7[\mathrm {C} _{1}^{10}\cdot 2^{9}\cdot 3+\mathrm {C} _{2}^{10}\cdot 2^{8}\cdot (7\times 3^{2})+\cdots +\mathrm {C} _{10}^{10}\cdot (7^{9}\times 3^{10})]\end{aligned}}$

${\text{Let A=}}{\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\text{, B=}}{\begin{bmatrix}p&r\\q&s\end{bmatrix}}{\text{, then }}a+b=c+d=p+q=r+s=1$

${\text{AB=}}{\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p&r\\q&s\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ap+cq&ar+cs\\bp+dq&br+ds\end{bmatrix}}$

$ap+cq+bp+dq=p(a+b)+q(c+d)=p+q=1$

$ar+cs+br+ds=r(a+b)+s(c+d)=r+s=1$

$\therefore {\text{AB is a Markov matrix.}}$

${\begin{aligned}&{\frac {2014\times 2013^{2}}{2014\times 2012^{2}+2014\times 2013+2012\times 2014}}\\[1.5mm]=&{\frac {2013^{2}}{2012^{2}+2013+2012}}\\[1.5mm]=&{\frac {2013^{2}}{2012(2012+1)+2013}}\\[1.5mm]=&{\frac {2013^{2}}{2012\times 2013+2013}}\\[1.5mm]=&{\frac {2013^{2}}{2013(2012+1)}}\\[1.5mm]=&{\frac {2013^{2}}{2013^{2}}}\\[1.5mm]=&1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {(5x^{\frac {1}{3}})^{-1}}{(125x)^{-{\frac {4}{3}}}}}\\[1.5mm]=&{\frac {{\frac {1}{5}}x^{-{\frac {1}{3}}}}{{\frac {1}{5^{4}}}x^{-{\frac {4}{3}}}}}\\[1.5mm]=&{\frac {5^{4}}{5}}x^{-{\frac {1}{3}}-(-{\frac {4}{3}})}\\[1.5mm]=&5^{3}x\\[1.5mm]=&125x\\[1.5mm]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&\sec ^{2}\theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\tan \theta \\0&1\end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\tan \theta \\0&\sec ^{2}\theta \end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\tan \theta \\-\tan \theta &\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta \end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &\cos \theta \tan \theta \\-\cos \theta \tan \theta &\cos \theta (\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta )\end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\sec \theta -\sec \theta \sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\sec \theta (1-\sin ^{2}\theta )\end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\sec \theta \cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}\\[1.5mm]=&{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\\[1.5mm]\end{aligned}}$