草稿:實質病態函數

實質病態函數（病態函數）是指在數學分析中，具有極端不規則性或異常行為的函數。這些函數通常會違背常規的數學直覺，表現出很少見或難以理解的性質，且可能不符合一般期望的連續性、可微性或可積性條件。 例如：

• 連續但處處不可微分的函數（如魏爾斯特拉斯函數）
• 測度為正但沒有內部點的 Julia 集
• 擁有遊蕩成分的整函數

這些函數通常在動力系統中呈現出不同於一般有理函數的行為，展現更豐富的結構與複雜性。

特徵

1. 不具備常見的數學性質：例如，某些實質病態函數可能處處連續但處處不可微，或處處不連續但仍具某些有用的性質（例如，可測性）。
2. 反例的作用：這些函數常用來作為反例，顯示出某些數學結論或理論在某些條件下不成立，或用來挑戰對「良好」函數性質的直覺。

例子

這篇論文提供了五個病態整函數範例，這些函數的 Julia 集和 Fatou 集具有一些不尋常的動力性質：

1. 遊蕩成分的極限集是無窮集合：一般情況：在有理函數的動力系統中，正常性集不會有遊蕩成分。病態行為：此整函數的某個遊蕩成分內，所有點的軌道的極限集是無窮集合，這與許多典型情況不同。
2. 單連通的遊蕩成分，所有迭代都是單值的（univalent）：一般情況：函數的迭代通常不是單值的，因為會有分支點或臨界點影響局部行為。病態行為：此整函數的某個遊蕩成分是單連通的，並且所有迭代 𝑓^𝑛都是單值函數。
3. 不變區域內所有點趨於無窮：一般情況：Julia 集中的點可能趨向吸引週期點或保持某些結構。病態行為：此整函數的某個不變區域中，所有點的軌道 𝑓^𝑛(𝑧)→∞，但函數在該區域內仍是單值的。
4. Julia 集的 Lebesgue 測度為正但沒有內部點：一般情況：許多 Julia 集是測度為零的（例如 Cantor 集型 Julia 集）。病態行為：此整函數的 Julia 集是沒有內部點的，但其測度為正，顯示出非典型的拓撲與測度性質。
5. 在 Julia 集上存在無窮維的不可約不變直線場：一般情況：函數的迭代通常不會保留某種方向結構。病態行為：此整函數的 Julia 集中存在無窮維的不可約不變直線場，顯示出特殊的結構。

意義

這些範例表明：

• 整函數動力系統可以展現比有理函數更複雜的行為。
• 某些整函數的 Julia 集具有測度為正但沒有內部點的特性。
• 遊蕩成分可以在整函數動力系統中存在，但在有理函數動力系統中則不會出現。
• 這些病態函數的構造使用了Runge 定理與Arakeljan 定理等逼近技術，允許構造出具有特定性質的整函數。

總結

它們在動力系統中的行為與典型函數不同，包括：

• 具有遊蕩成分
• 極限集合是無窮集合
• 不變區域內所有點趨於無窮
• 測度為正但沒有內部點的 Julia 集
• 存在無窮維的不可約不變直線場

這些結果顯示，整函數的動力系統比有理函數更為多樣，也提供了許多研究方向與反例。

參考資料

EXAMPLES OF ENTIRE FUNCTIONS WITH PATHOLOGICAL DYNAMICS(p2~10)