数学中,麦克劳林不等式(Maclaurin's inequality),以科林·麦克劳林冠名,是算术几何平均不等式的加细。
设 a1, a2, ..., an 是正实数,对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为
![{\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52842fe5b912838b2aaed8b88b88d74b14cc276a)
这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an 的 k 阶基本对称多项式,即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数,二项式系数
。
麦克劳林不等式是如下不等式链:
![{\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce3531893632fa4b0f6ee3e9cb58cbd6c55940a)
等号成立当且仅当所有 ai 相等。
对 n = 2,这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\\\&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bfd97a1bb3783e9f70b61ee83f642188cfa4cf)
麦克劳林不等式可用牛顿不等式证明。证明的思路是运用归纳法:
- 首先证明
![{\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156731c4964225ca5b16a9e2f3c70162c670b1b5)
- 也就是:
。
- 这个式子等价于
,
- 也就是:
。因此成立。
- 其次,假设对某个
,已经证明了
,那么也就等于说证明了:
![{\displaystyle S_{k-1}^{k}\geq S_{k}^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf519ab39e4dd6ede9b4690ce70e7d45ccabab6)
- 牛顿不等式说明,还有:
![{\displaystyle S_{k}^{2}\geq S_{k+1}S_{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ec689b905b0c370efaeb6625b64c9b11a20d3f)
- 这个不等式两边作k 次乘幂,就得到:
![{\displaystyle S_{k}^{2k}\geq S_{k+1}^{k}S_{k-1}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333296b24d5316101c4763ce9c984f89fa33d16c)
- 从而:
![{\displaystyle S_{k}^{2k}\geq S_{k+1}^{k}S_{k}^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5405602e70c36a73cdd3fa31a2ec99a5133b224)
![{\displaystyle S_{k}^{k+1}\geq S_{k+1}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0775f58656bc27c4a012bff1a0dc5806b9ddd8c3)
![{\displaystyle {\sqrt[{k}]{S_{k}}}\geq {\sqrt[{k+1}]{S_{k+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdd4af144e26d65f712aef39959ac05beef1551)
于是,综上所述,可以证明对所有的
,都有:
麦克劳林不等式得证。
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