在泛函分析中,香农小波(英語:Shannon wavelet)(或Sinc小波)是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波,也可以是复小波。
香农小波在时域局域化特性不好(时域非紧支撑),但其傅里叶变换是带限的(频域是紧支撑)。因此香农小波的时间定位性能较差,但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反,因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。
香农小波的构建从Sinc函数开始。
尺度函数[编辑]
首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数:
其伸缩和平移为:
其中,
为伸缩和平移的参数。
尺度函数的傅里叶变换为:
其中(归一化的)矩形函数定义为:
尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为:
母小波[编辑]
由尺度函数
和多分辨率近似,我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式:
其伸缩和平移形式为:
对其进行逆傅里叶变换,可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式:
进一步了解香农小波的构建可以参考[1]。
尺度函数和母小波的性质[编辑]
- 尺度
的尺度函数的平移是正交的:
- 尺度
的尺度函数和母小波时正交的:
实香农小波
利用香农小波重建函数[编辑]
假设信号
满足
并对任意伸缩和平移参数
都有:
,
则
是一致收敛的,其中
实香农小波[编辑]
在傅里叶变换中,香农母小波由下式给出:
![{\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d62fbd36bf40398f55b09503b5ce57c71b93fab)
其中(归一化)门函数由下式定义:
![{\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55a06d7d26a7bd2f60a20e4c550279da6dc0810)
实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到:
![{\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc937de01554a13fef11f4a4c5071696c67de81)
也可按:
![{\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556034b7c6b706a1ca5213962afb32dbbdab2d02)
其中
![{\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1f5ecf4a3dfae9934ba3d50ee6c99b3f6efb1)
是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。
该小波有
级的可微性,但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑,因为有频带限制的信号没有时间限制。
对于香农MRA(或是正弦MRA)的缩放函数由下面示例函数给出:
![{\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e44e2a5e018b45327035f8265d79f352f7f882)
复香农小波[编辑]
复连续香农小波由下式定义:
,
参考资料[编辑]
- S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
- C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
- L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014, 9 pages.