非自治系统

数学中，自治系统指光滑流形上的动力方程；非自治系统（non-autonomous system）则是$\mathbb {R}$上的光滑纤维丛$Q\to \mathbb {R}$上的动力方程。这是非自治力学的情形。

纤维丛$Q\to \mathbb {R}$上的r阶微分方程由$Q\to \mathbb {R}$的节丛$J^{r}Q$的闭子丛表示。$Q\to \mathbb {R}$上的动力方程是微分方程，高阶导数可用代数方法求解。

特别地，纤维丛$Q\to \mathbb {R}$上的1阶动力方程是$Q\to \mathbb {R}$上某联络$\Gamma$的协变微商的核。给定Q上的丛坐标$(t,q^{i})$和1阶节流形$J^{1}Q$上的适应（adapted）坐标$(t,q^{i},q_{t}^{i})$，1阶动力方程为

$q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).$

这是哈密顿非自治力学的情形。

$Q\to \mathbb {R}$上的2阶动力方程

$q_{tt}^{i}=\xi ^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})$

定义为节丛$J^{1}Q\to \mathbb {R}$上的完整（holonomic）联络$\xi$，此方程也可用仿射节丛$J^{1}Q\to Q$上的联络表示。由于规范嵌入$J^{1}Q\to TQ$，其等价于Q的切丛$TQ$上的测地线方程。非自治力学中的自由运动方程是2阶非自治动力方程的例子。

另见

• 自治系统 (数学)
• 非自治力学
• 自由运动方程
• 相对系统

参考文献

• De Leon, M., Rodrigues, P., Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics (North Holland, 1989).
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 (arXiv:0911.0411).