逆小波轉換(inverse wavelet transform)為小波轉換的反函數,小波轉換大致分為三類
- 連續小波轉換
- 離散變數連續小波轉換
- 離散小波轉換
分別介紹此三種的反函數
連續小波轉換反函數[编辑]
已知
則逆轉換為
其中
證明:
由於
假設
則
經過傅立葉轉換,原本的摺積性質變為相乘
如果母小波為實函數,則其傅立葉轉換有以下性質
(使用變數代換
)
得證
離散變數連續小波轉換反函數[编辑]
為
的雙效函數(dual function),滿足以下正交(orthogonal)特性
或是
通常會設計成
因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:
離散小波轉換反函數[编辑]
在這裡解釋的是如何重建(reconstruction)一個經過離散小波轉換的函數
以進行一階離散小波轉換,升降頻倍率為2為例,可以得到右圖的架構
DWT reconstruction
需要滿足一些條件才能使
將此流程進行Z轉換及化簡可得到:
因此為了得到
,須滿足以下二條件
![{\displaystyle G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debe5592e928571cbcfd01341e74af0459c746d1)
![{\displaystyle G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12495ffae427942cbc6a5c1f7a7cd5d421c49967)
可轉換為
化簡得到
其中
要滿足上式須滿足以下四個條件,此四條件及上式的關係為若且唯若
![{\displaystyle \sum _{p}g[p]g_{1}[2n-p]=\delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d97636d3faa27ceece12bcfa5343600ebfa2d48)
![{\displaystyle \sum _{p}h[p]h_{1}[2n-p]=\delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ce8ce2fcb8c4235d95b5a4c6e447232d54b4a7)
![{\displaystyle \sum _{p}g[p]h_{1}[2n-p]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8654da55c60d9be5c25bb391dede79739d98ac1b)
![{\displaystyle \sum _{p}g_{1}[p]h[2n-p]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d75899cac2c019c97232b632897beef49e8c651)
證明於參考條目中
因此只要
符合上述條件就能將經過離散小波轉換的
重建為x[n]
相關條目[编辑]
- Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform (页面存档备份,存于互联网档案馆)