在數學裡,積度量(product metric)是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量。n 個度量空間之笛卡爾積的積度量,可視為是將 n 個子空間的範數作為 n 維向量之各分量,取其 p-範數所得之值。
![{\displaystyle d_{p}(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n})=\|(d_{1}(\mathbf {x} _{1}),\dots ,d_{n}(\mathbf {x} _{n}))\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837ef16535cceaec6d5741cd935ecc41a8d2e4f0)
令
與
為度量空間,且令
。
上之 p-積度量
定義為
- 對於
及
,
for ![{\displaystyle 1\leq p<\infty ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f2937a18cf05ad5569838da996831323e2994c)
![{\displaystyle d_{\infty }\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right):=\max \left\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e544a7c7698a32b741a06ff8af78c0ac0e8541)
範數的選擇[编辑]
在歐氏空間裡,使用 L2 範數會在積空間裡產生歐幾里得度量;不過,選擇 p 的其他值也會形成其他拓撲等價的度量空間。在度量空間範疇(具有利普希茨常數為 1 的利普希茨映射)裡,使用上確界範數。
參考資料[编辑]