繪製瓦特曲線(圖中的黑線)
瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線,也是圓代數曲線。是由二個半徑為b ,圓心之間距離為2a(分別在(±a, 0))的圓所產生,一個長為2c的線段,兩端點分別在二圓上,其線段中間的軌跡即為瓦特曲線,此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。
瓦特曲線的方程式可以寫為以下的极坐标系方程
![{\displaystyle r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6e3921b0bd544992632a8d945be2a2e9dea8d2)
极坐标系[编辑]
极坐标系方程可以用下式推導[1]:
在複數平面上,令二圓的圓心為a和−a,二圓連線的端點為−a+bei λ和a+bei ρ。令線段相對水平線的斜角ψ,其中點為rei θ,則二端點也可表示為rei θ ± cei ψ。二端點的二種表示式可得:
![{\displaystyle a+be^{i\rho }=re^{i\theta }+ce^{i\psi }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4082c92754c4b6a7db2c5fdddf43d9d2670fb0)
![{\displaystyle -a+be^{i\lambda }=re^{i\theta }-ce^{i\psi }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b646fb44f4a23ae9d5c548c916bfb21721a956)
二式相加再除二可得
![{\displaystyle re^{i\theta }={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }+e^{i\lambda })=b\cos({\tfrac {\rho -\lambda }{2}})e^{i{\tfrac {\rho +\lambda }{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1644b7a1d094999e3e769969a94b51d67f656a)
比較半徑及幅角可得
![{\displaystyle r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{where}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61cc84f068c1597a9c140e4f076a9b192557971f)
一開始的二式相減再除二可得
![{\displaystyle ce^{i\psi }-a={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }-e^{i\lambda })=ib\sin \alpha e^{i\theta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46edb0b75469c23171a602e82edcc3e06213482)
將a以下式表示
![{\displaystyle a=a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420dfd15feaca7dde11d12c02adcba148c954e5f)
因此
![{\displaystyle ce^{i\psi }=ib\sin \alpha e^{i\theta }+a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }=(a\cos \theta \ +i(b\sin \alpha -a\sin \theta ))e^{i\theta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28214b35934af8dbaf23e46b117adc9e31757366)
![{\displaystyle c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e494a0078846ddfee390e46932e3eb7bc49edd2c)
![{\displaystyle b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089ff3e9a0c43ec0193f501d9c080f9077b55476)
![{\displaystyle r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3b488696dbd57628e3076b0d5f652a63af8eaf)
直角座標系[编辑]
將極座標方式展開可得
![{\displaystyle r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106dedb9c6454d89ec099ced3e6a8a02cf8e39dc)
![{\displaystyle r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fcddbb19f52b569ef17617cad9ed6d8ecd6b14)
![{\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ff9357eb82d448d47ec1d558d52f45545e8be8)
![{\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb735ac2772b23449097f81d355855191dac4e3d)
![{\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe09578377f9174ae99275be709798e9cadd41e)
令d 2=a2+b2–c2 因此可簡化上式為:
瓦特連桿[编辑]
當曲線通過原點時,原點為拐點,因此有3階接觸切線。不過若a2=b2+<c2,則有5階接觸切線,換句話說此曲線相當接近直線,這就是瓦特連桿可以作為直線運動機構的原理。
相關條目[编辑]
參考資料[编辑]
外部連結[编辑]