环同态

在环论或抽象代数中，环同态是指两个环 $R$ 與 $S$ 之间的映射 $f$ 保持两个环的加法与乘法运算。

更加精确地，如果 $R$ 和 $S$ 是环，则环同态是一个函数$f:R\rightarrow S$，使得：

• $f(a+b)=f(a)+f(b)$，对于 $R$ 内的所有 $a$ 和 $b$；
• $f(ab)=f(a)f(b)$，对于 $R$ 内的所有 $a$ 和 $b$；
• $f(1)=1$。

如果我们不要求环具有乘法单位元，则最后一个条件不需要。

性质

直接从这些定义，我们可以推出：

• $f(0)=0$
• $f(-a)=-f(a)$
• 如果 $a$ 在 $R$ 内具有乘法逆元，则 $f(a)$ 在 $S$ 内具有乘法逆元，且有 $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$。
• $f$ 的核，定义为$\ker(f)=\{a\ \mathrm {in} \ R:f(a)=0\}$，是 $R$ 内的一个理想。每一个交换环 $R$ 内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。
• 环同态 $f$ 是单射，当且仅当$\ker(f)=\{0\}$。
• $f$ 的像，$\mathrm {im} (f)$，是 $S$ 的一个子环。
• 如果 $f$ 是双射，那么它的逆映射 $f^{-1}$ 也是环同态。在这种情况下，$f$ 称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。
• 如果存在一个环同态 $f:R\rightarrow S$，那么 $S$ 的特征整除 $R$ 的特征。这有时候可以用来证明在一定的环 $R$ 和 $S$ 之间，不存在环同态 $R\rightarrow S$。
• 如果 $R$ 是一个域，则 $f$ 要么是单射，要么是零函数。（但是，如果 $f$ 保持乘法单位元，则它不能是零函数）。
• 如果 $R$ 和 $S$ 都是域，则 $\mathrm {im} (f)$ 是 $S$ 的一个子域（如果 $f$ 不是零函数）。
• 如果$R$ 和 $S$ 是交换环，$S$ 没有零因子，则 $\ker(f)$ 是 $R$ 的一个素理想。
• 如果$R$ 和 $S$ 是交换环，$S$ 是一个域，且 $f$ 是满射，则 $\ker(f)$ 是 $R$ 的一个最大理想。
• 对于每一个环 $R$，都存在一个唯一的环同态 $\mathbb {Z} \rightarrow R$。这就是说，整数环是环范畴中的始对象。

例子

• 函数 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{n}$，由 $f(a)=[a]_{n}=a{\bmod {n}}$ 定义，是一个满射的环同态，它的核为$n\mathbb {Z}$。
• 当 $n>1$ 时，不存在环同态$\mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {Z}$。
• 如果 $\mathbb {R} [X]$ 表示变量为 $X$ 的所有实系数多项式的环，$\mathbb {C}$表示复数域，则函数 $f:\mathbb {R} [X]\rightarrow \mathbb {C}$，由 $f(p)=p(i)$ 定义（在多项式 $p$ 中用虚数单位 $i$ 来代替变量 $X$），是一个满射的环同态。$f$ 的核由 $\mathbb {R} [X]$ 内所有能被 $X^{2}+1$ 整除的多项式组成。

环同态的种类

• 双射的环同态称为环同构。
• 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。

在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果 $f:R\rightarrow S$ 是单同态而不是单射，则它把某个 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 映射到 $S$ 的同一个元素。考虑从 $\mathbb {Z} [x]$ 到 $R$ 的两个映射 $g_{1}$ 和 $g_{2}$，分别把 $x$ 映射到 $r_{1}$ 和 $r_{2}$；$f\circ g_{1}$和 $f\circ g_{2}$是相等的，但由于 $f$ 是单同态，这是不可能的。

然而，在环范畴中，满射的环同态与满同态是非常不同的。例如，$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ 是满同态，但不是满射。

参见

• 同态