截面 (幾何)

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幾何學和科學中的截面（英語：Cross section），是指一三維空間下的物體和一平面相交所產生的交集。截面的面積稱為截面積。將一個物體切成許多片，就會產生多個平行的截面。三維空間中，若截面平行定義此座標的截面，該截面的輪廓稱為等高線，例如地勢圖中的山和與地面平行的平面產生截面，其等高線則表示一群有相冋相对高度地點的集合。

定義

若平面和三維立體相交，則其交集即為截面。

立體截面的形狀和截面所在平面和立體的關係而定。例如，球的所有截面都是圓盤，立方體的截面則視平面相對立體的位置而定；若截面平面和立方體的平面平行，其截面形狀會是方形，若截面和穿過立方體對角的對角線垂直，截面也可能是一點、三角形或是六邊形。

面積

祖暅原理說明若兩個固體對應的截面積相等，則其體積相等。

一物體以特定角度觀看時的截面積（$A'$）是該物體在此角度下正交投影的總面積。例如一高為h，半徑為r的圓柱，若沿著其中心軸，其截面積$A'=\pi r^{2}$，若沿著任一個和中心軸垂直的線，其截面積 $A'=2rh$。一個半徑為r的球體，在任意角度下的截面積均為$A'=\pi r^{2}$。一物體的截面積可由下式的曲面積分求得：

$A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,$

其中

$\mathbf {\hat {r}}$為沿著指定方向的單位向量

$d\mathbf {A}$是單位表面積向量，向量方向為往外的法向量。

而且上述積分只針對物體最上方的表面，也就是以觀者角度可見的那一面。對於一個凸体的物體，從觀者角度到物體的射線都會和物體的表面交會二次。因此上述積分可以以取絕對值的方式，針對整個表面計算，再除以2得到截面積如下：

$A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |$

相關條目

• 工程圖
• 分解圖
• 画法几何
• 三维投影
• 輪廓量規
• 割面

參考資料

• Swokowski, Earl W., Calculus with analytic geometry Alternate, Prindle, Weber & Schmidt, 1983, ISBN 0-87150-341-7  含有內容需登入查看的頁面 (link)