在數學的代數群領域中,根資料(原文為法文donnée radicielle)是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群,根資料是比根系更精細的不變量,若假設連通性,則它決定了代數群的結構(至多差一個同構)。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述,於1970年出版。
根資料是一組資料
,其中:
是有限秩自由阿貝爾群,其間有一個配對
使兩者互為對偶。
是
的有限子集,
是
的有限子集,並存在其間的雙射
。
- 對任意
,有
。
- 對任意
,根鏡射
導出根資料的自同構(換言之:它將
一一映至
,而在
上導出的對偶映射則將
一一映至
)。
- 類似地,對任意
,餘根鏡射
導出根資料的自同構。
的元素稱作該根資料的根,
的元素稱為餘根。
若
不包含任意根的兩倍,則稱此根資料為既約的。
設
。若
,稱此根資料為半單的,
從根資料到根系[编辑]
對於根資料
,取
為
在
中生成的子群,並設
;利用對偶性,同樣可定義
。可證明
,
在
中的指數為有限的;因此
可視為
的對偶空間。可證明
成為一個根系。
與約化代數群的關係[编辑]
設
是域
上的約化代數群,並具有在
上分裂的極大環面
。定義相應的根資料
為
(極大環面的特徵標)
(極大環面的餘特徵標,或者說是其中的單參數子群)
是資料
的根。
是相應的餘根。
代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之,給定任一組根資料,存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系及丹金圖精確,因為它不僅刻劃了群的李代數結構,還刻劃了群的中心。
對偶性[编辑]
給定任一根資料
,藉著將
對換,將
對換,可以得到新的根資料,稱為其對偶。
若
是代數封閉域
上的連通、約化代數群,則根資料的對偶決定了複數域
上唯一的連通、約化、分裂代數群LG,稱為
的郎蘭茲對偶群。