条件期望

在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。

条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。

计算

设 $X$ 和 $Y$ 是离散随机变量，则 $X$ 在给定事件 $Y=y$ 条件时的条件期望是 $x$ 的在 $Y$ 的值域的函数

\operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},

其中， ${\mathcal {X}}$ 是处于 $X$ 的值域。

如果现在 $X$ 是一个连续随机变量，而 $Y$ 仍然是一个离散变量，条件期望是：

\operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx

其中， $f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)$ 是在给定 $Y=y$ 下 $X$ 的条件概率密度函数。

正式的定义

给定 $X$ 是一个定义在概率空间 $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)$ 上的随机变量， ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}$ 是 ${\mathcal {F}}$ 的一个子σ-代数，且 $E|X|<\infty$ 。则定义 $X$ 在给定 ${\mathcal {F}}$ 下的条件期望 $E(X|{\mathcal {F}})$ 是满足以下两个条件的随机变量 $Y$ ：