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普遍化

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普遍化(generalization)是數理邏輯裡一條極為常用的規則,直觀來說,這條規則在滿足一條件下,可以將原合式公式推廣成被全称量化的版本。

視為元定理

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谓词演算裡,以下的元定理

元定理 —  裡變數 都完全被約束,若

則有

就是一般所稱的普遍化

視為推理規則

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普遍化可以視為谓词演算的一條推理规则,也就是說:( 以下的 為任意變數, 為任意合式公式

可以推出

也可以用相继式表記為

但這個推理規則會嚴苛地限制演绎定理的適用範圍,如

不成立,因为無法確定變數 有沒有完全被約束(參見上面元定理一節)。這就破壞了元語言的"十字旋轉門"「 」跟逻辑语言的「」間的聯繫。也就是說,直觀上「 以合式公式為前提,根據推理規則和公理可以推出合式公式」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式」是等價的,但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。

证明的例子

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以下的證明是基於將普遍化視為推理規則

证明:

编号 公式 理由
1 假设
2 假设
3 公理 PRED-1
4 从 (1) 和 (3) 通过肯定前件
5 公理 PRED-1
6 从 (2) 和 (5) 通过肯定前件
7 从 (6) 和 (4) 通过肯定前件
8 从 (7) 通过普遍化
9 总结 (1) 到 (8)
10 从 (9) 通过演绎定理
11 从 (10) 通过演绎定理

步骤(10)中,因为 完全被約束,所以可以套用演繹定裡,步骤(11)也是基於類似的理由。