无穷递降法,又名無窮遞減法(英語:Proof by infinite descent),是数学中证明方程无解的一种方法。
- 假设方程有解,并设X为最小的解。
- 从X推出一个更小的解Y。
- 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。
一些實用的例子[编辑]
a2+b2=3(s2+t2)無非平方解[编辑]
证明下列方程无正整数解:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9e3c9663c53d605f2acb74d63b049fe688d30)
证明:
假设该方程有正整数解。
设
为最小的解。即
![{\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eae03aacf3363844b0fd8ec6ade76391bc2bab)
显然,
和
都必须能被3整除。设
及![{\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a045ed9cdcfd1886b30bf78ac687b6e4b79d38df)
我们得到
![{\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a956a109140f094ecb17712ce75d33bab68bb18)
![{\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9e1325671332b5c375b0b8c81af6d99f8e065e)
这是更小的解,与
的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。
的無理性[编辑]
假設
是有理數,即
有正整數解。
令
是此方程的最小解
易知
是偶數,從得
是偶數
⇒
和
是此方程的最小解矛盾,故無正整數解
⇒從得
是無理數