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施瓦茨-米爾諾引理

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施瓦茨-米爾諾(Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor[1])引理,是數學上的一個結果,給出了和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果,十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。[2]有了這條引理,就可以由度量空間的幾何性質,來研究群的性質。

定義

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X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連,就稱X測地的。

如果X中每一個都是緊緻集,就稱X常態的。考慮X中從某點量度距離的函數

那麼閉球是緊緻區間[0,a]在下的原像。因此,閉球都是緊緻集這個條件,便等價於所有形如的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。

一個群GX上的群作用稱為真不連續的,如果對每個緊緻集G中只有有限個元素g,使得。這個群作用稱為餘緊的,如果存在一個緊緻集,使得

引理敘述

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X為一個常態測地度量空間。如果一個群G等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上,那麼G有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G字度量後,和X擬等距同構;對於X的任何一點,映射都是從GX的擬等距映射。

證明

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G中任何有限生成集合所對應的字度量,都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S,證明在G上取對應S的字度量後,和X是擬等距同構即可。

選定。因為群作用是餘緊的,存在,使得G的作用下覆蓋X

G的一個子集

G的元素g若在子集S內,則有

X是常態度量空間,故是緊緻集,又因群作用是真不連續的,所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。

G中任何非平凡元素g,有一條測地線段連接兩點。設k為整數,符合

在這條測地線段上取點j=1,..., k+1,滿足

對每一點,都存在G中的元素,使得。可指定, 。如果,則有,因為

由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。因此SG的生成集合,而且對所有g都有

,用三角不等式得出

對任何,有

故此從以上兩條不等式可以得出

而且X中每一點x都距離某個不超過r,所以是擬等距映射,GX是擬等距同構。

註釋和參考

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  1. ^ Švarc是阿爾伯特·施瓦茨俄文姓氏Шварц俄語拉丁轉寫。他移居美國後,使用他的姓氏的拉丁字母慣常寫法Schwarz。
  2. ^ Benson Farb, Lee Mosher,Convex cocompact subgroups of mapping class groups