奇異積分

奇異積分（singular integral）為一數學名詞，是傅里叶分析的中心概念，和偏微分方程的研究有密切關係。奇異積分是指以下的积分变换：

$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$

其中核函數K : Rⁿ×Rⁿ → Rⁿ在x = y時為奇点，而且當|x − y| 趨近 0時，使得|K(x, y)|的大小漸近趨近|x − y|⁻ⁿ。由於這類積分多半不一定是絕對可積的，因此需針對ε 趨近 0的條件下，在|y − x| > ε區域內的積分極限進行嚴謹的定義，不過在實務上這只是技術細節而已。若要獲得其他結果，例如L^p(Rⁿ)裡的有界，還需要有其他的假設。

希爾伯特轉換

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希爾伯特轉換H就是典型的奇異積分算子，是和核函數K(x) = 1/(πx)的卷積，更準確的說法是

$H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$

最直接的高維類比是里斯變換，將K(x) = 1/x改成

$K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$

其中i = 1, ..., n，而$x_{i}$是x的第i的分量，x在Rⁿ內。這些算子都在L^p內有界，也滿足弱型態(1, 1)估測。