均方误差

提示：此条目的主题不是均方根误差。

在统计学中，平均平方誤差（mean-square error，MSE）或均方误差，又称均方偏差（mean-square deviation，MSD）、均方差，是预测值或估计值与真实值的差异平方的均值。均方误差越小说明模型的预测或者参数的估计精度越准确。

計算公式

对于无法观察的参数$\theta$的一个估计函数T；其定义为：

$\operatorname {MSE} (T)=\operatorname {E} ((T-\theta )^{2}),$

即，它是“误差”的平方的期望值。误差就是估计值与被估计量的差。均方误差满足等式

$\operatorname {MSE} (T)=\operatorname {var} (T)+(\operatorname {bias} (T))^{2}$

其中

$\operatorname {bias} (T)=\operatorname {E} (T)-\theta ,$

也就是说，偏差$\operatorname {bias} (T)$是估计函数的期望值与那个无法观察的参数的差。

下边是一个具体例子。假设

$X_{1},\dots ,X_{n}\sim \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2}),$

即$X_{1},\dots ,X_{n}$是一组来自正态分布的样本。常用的两个对σ²估计函数为：

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}\$　和　${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$

其中

${\overline {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$

为样本均值。

第一个估计函数为最大似然估计，它是有偏的，即偏差不为零，但是它的方差比第二个小。而第二个估计函数是无偏的。较大的方差某种程度上补偿了偏差，因此第二个估计函数的均方误差比第一个要大。

另外，这两个估计函数的均方误差都比下边这个有偏估计函数大：${\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$

这个估计函数使得形如$c\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$（其中c是常数）的均方误差最小。

參見

• 圖像壓縮
• 视频壓縮
• 平均百分比误差
• 均方量化误差
• 加权均方误差
• 均方偏移
• 均方预测误差
• 最小均方误差
• 过拟合
• 峰值信噪比

外部链接

• 测量图像以及视频均方误差的一些工具（页面存档备份，存于互联网档案馆）