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卡諾定理」。
卡諾定理:若三角形三邊上的垂線交於一點F,則藍色區域面積等於紅色區域面積
卡諾定理以拉扎爾·卡諾命名,為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個充分必要條件。該定理也可被視為是畢氏定理的一般化。
對於一個三角形
,其三邊為
。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線,若
是這三條垂線在
上的垂足,則下列關係式成立:
![{\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a3a124eb1a011addcf74be95478271272f595d)
該命題的逆命題同樣成立:若
在邊上的位置滿足關係式,則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此,該關係式為垂線是否交於一點提供了一個充分必要條件。
若三角形
的角
為直角,則可以將三條垂線的交點
置於
上。此時由於
、
且
,可得
、
、
、
、
與
,代入卡諾定理的關係式後,即可推得畢氏定理
。
若三條垂線皆為中垂線,則
、
且
,無論三邊長度為何,上述關係式必會成立,故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。
參考資料[编辑]