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卡爾曼猜想

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圖1:控制系統的方塊圖,其中的G(s)是線性傳遞函數,而f(e)是單值連續可微的函數

卡爾曼猜想(Kalman's conjecture)或卡爾曼問題(Kalman problem)是已找到反例的猜想,是針對非線性控制系統,其中有一個純量非線性元素,此系統在線性穩定區間內的絕對穩定性。卡爾曼猜想是阿依熱爾曼猜想的加強版本,也是Markus–Yamabe猜想英语Markus–Yamabe conjecture的特例。卡爾曼猜想雖已證實為否,不過帶出了(有效的)絕對穩定性的充份準則

卡爾曼猜想的數學描述(卡爾曼問題)

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鲁道夫·卡尔曼在1957年的論文[1]中提到:

若圖1中的f(e)用e乘上常數K取代,K對應f'(e)中所有的可能值,發現閉迴路系統在所有K值下都收斂。在直覺上會認為此系統是單調穩定的,也就是說,所有暫態的解都會收斂到唯一、穩定的臨界點。

卡尔曼的描述可以寫成以下的猜想[2]

考慮一個有單一純量非線性函數的函數

其中P是常數的n×n矩陣,qr是常數的n維向量,∗是轉置符號,f(e)是純量函數,f(0) = 0。假設,f(e)是可微分函數,而且滿足以下條件

。則卡爾曼猜想是指此系統在大區域穩定(也就是其唯一駐點為全域吸引子)若配合f(e) = ke, k ∈ (k1k2)的所有線性系統都是漸近穩定。

阿依熱爾曼猜想要求非線性導數的條件,而卡爾曼猜想要求非線性本身要在線性區間內。

卡爾曼猜想在n ≤ 3時成立,若是n > 3,存在有效生成反例的作法[3][4]:非線性的導數在線性穩定區間內,存在唯一穩定的平衡點,以及一個穩定的周期解(隱蔽振盪)。

在離散系統下,卡爾曼猜想只在n=1時成立,在n ≥ 2時可以建構反例[5][6]

參考資料

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  1. ^ Kalman R.E. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems. Transactions of ASME. 1957, 79 (3): 553–566. 
  2. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-05-11]. doi:10.1134/S1064562411040120. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  3. ^ Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-05-11]. doi:10.1134/S106423071104006X. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  4. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013, 23 (1): art. no. 1330002 [2019-05-11]. doi:10.1142/S0218127413300024. (原始内容存档于2019-03-24). 
  5. ^ Carrasco J.; Heath W. P.; de la Sen M. Second-order counterexample to the Kalman conjecture in discrete-time. 2015 European Control Conference. 2015. 
  6. ^ Heath W. P.; Carrasco J; de la Sen M. Second-order counterexamples to the discrete-time Kalman conjecture. Automatica. 2015. doi:10.1016/j.automatica.2015.07.005. 

延伸閱讀

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外部連結

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