建立曲線族的包絡線。
包絡線(Envelope)是幾何學裡的概念,代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。(曲線族即一些曲線的無窮集,它們有一些特定的關係。)
設一個曲線族的每條曲線
可表示為
,其中
是曲線族的參數,
是特定曲線的參數。若包絡線存在,它是由
得出,其中
以以下的方程求得:
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35afeec39ce6eb515084376fbf742f6c5f0091f7)
若曲線族以隱函數形式
表示,其包絡線的隱方程,便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。
![{\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731d4db8b111d0c49b81196d7f439484a2b9d1df)
繡曲線是包絡線的例子。直線族
(其中
是常數,
是直線族的變數)的包絡線為拋物線。[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
設曲線族的每條曲線
為
。
設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切,對於任意的
,設
表示
和包絡線相切的那點。由此式可見,
是包絡線的變數。要求出包絡線,就即要求出
。
在
的切向量為
,其中
。
在E的切向量為
。因為
是
和
的函數,而此處
,局部求導有:
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {dh}{ds}}+{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {ds}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3192a3f75307a1e8686653e9507327fb7d68a522)
類似地得
。
因為
和
在該點相切,因此其切向量應平行,故有
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff1b9e6212ac772feb1209ce637f77843667ccc)
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a20cf2e7e177351d0538fd9c3314dea8e2a788a)
其中
。可用此兩式消去
。整理後得:
外部連結[编辑]