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几何积分

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常微分方程的数值计算中,几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。

以摆为例

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可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。

设摆锤质量为,摆杆长度为。设重力加速度为。用表示杆偏移垂直方向的角位移,并用表示摆的动量,则系统的哈密顿量动能势能之和)为

其给出哈密顿方程

很自然,可将所有位形空间看做单位圆,这样就位于圆柱体上。取只是因为空间会更方便绘制。定义。让我们用一些简单的数值方法对这个系统进行积分。像往常一样,选择常数步长,对任意非负整数。 我们用以下方法:

显式欧拉);
(隐式欧拉);
(辛欧拉);
(隐式中点法则)。

(注意,辛欧拉法用显式欧拉法处理q,用隐式欧拉法处理。)

观察到在哈密顿方程的解曲线上是常数,于是可以描述系统的精确轨迹,是水平曲线。在中绘制了系统的精确轨迹和数值解。对显式、隐式欧拉法,分别取z0 = (0.5, 0)及(1.5, 0);对其他两种方法,分别取z0 = (0, 0.7);(0, 1.4)及(0, 2.1)。

单摆轨迹

显式(或隐式)欧拉法是从原点向外(或向内)的螺旋运动。另两种方法显示了正确的定性行为,隐式中点法则与精确解的吻合程度高于辛欧拉法。

回顾一下,具有1自由度的哈密顿系统的精确流是保面积的,即

for all .

此式很容易手动验证。对我们的单摆例子,可以发现,显式欧拉法的数值流保面积;即

隐式欧拉法也可进行类似计算,行列式为

辛欧拉法保面积的:

于是。隐式中点法则具有类似的几何特性。

总结:单摆例表明,除显式、隐式欧拉法不是解决问题的好方法外,辛欧拉法和隐式中点法则与系统的精确流非常吻合,后者更精确。而且后两种方案与精确流都保面积,是几何积分(实际上是辛积分)的两个例子。

活动标架法

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活动标架法可用于构建保持ODE对称性的数值方法。龙格-库塔法等现有方法可用活动标架法进行修改,以产生不变版本。[1]

另见

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参考文献

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阅读更多

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  • Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-43003-2. 
  • Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian. Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge University Press. 2005. ISBN 0-521-77290-7. 
  • Budd, C.J.; Piggott, M.D. Geometric Integration and its Applications. Handbook of Numerical Analysis 11. Elsevier. 2003: 35–139. ISBN 9780444512475. doi:10.1016/S1570-8659(02)11002-7. 
  • Kim, Pilwon. Invariantization of Numerical Schemes Using Moving Frames. BIT Numerical Mathematics 47 (3). Springer. 2007: 525–546. doi:10.1007/s10543-007-0138-8.