伯努利不等式

數學中的伯努利不等式指出：對任意整數$n\geq 1$，和任意實數$x\geq -1$有：

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$；

如果$n\geq 0$且是偶數，則不等式對任意實數$x$成立。

可以看到在$n=0,1$，或$x=0$時等號成立，而對任意正整數$n\geq 2$和任意實數$x\geq -1$，$x\neq 0$，有嚴格不等式：

$(1+x)^{n}>1+nx\,$。

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

證明和推廣

伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當$n=0,1$，不等式明顯成立。假設不等式對正整數$n$，實數$x\geq -1$時成立，那麼

$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)$

$=1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x$。

下面是推廣到實數冪的版本：如果$x>-1$，那麼：

若$r\leq 0$或$r\geq 1$，有$(1+x)^{r}\geq 1+rx$；

若$0\leq r\leq 1$，有$(1+x)^{r}\leq 1+rx$。

這不等式可以用導數比較來證明：

當$r=0,1$時，等式顯然成立。

在$(-1,\infty )$上定義$f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)$，其中$r\neq 0,1$， 對$x$求导得$f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r$， 則$f'(x)=0$當且僅當$x=0$。分情況討論：

1. $0<r<1$，則對$x>0$，$f'(x)<0$；對$-1<x<0$，$f'(x)>0$。因此$f(x)$在$x=0$時取最大值$0$，故得$(1+x)^{r}\leq 1+rx$。
2. $r<0$或$r>1$，則對$x>0$，$f'(x)>0$；對$-1<x<0$，$f'(x)<0$。因此$f(x)$在$x=0$時取最小值$0$，故得$(1+x)^{r}\geq 1+rx$。

在這兩種情況，等號成立當且僅當$x=0$。

相關不等式

下述不等式從另一邊估計$(1+x)^{r}$：對任意$x,{\mbox{ }}r>0$，都有

$(1+x)^{r}<e^{rx}\,$。

我们知道$1+x<e^{x}$（$x>0$），因此这个不等式是成立的。