罗素悖论

罗素悖论（英語：Russell's paradox），是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义

设$A=\{x\mid x\not \in x\}$，那么$A\in A\Leftrightarrow A\not \in A$。

我们通常希望，任给一个性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質$P$，並以一性質函数$P(x)$表示，且其中的自變量$x$具有特性$x\not \in x$。现假设由性质$P$能夠确定一个滿足性質$P$的集合$A$——也就是说 $A=\{x\mid x\not \in x\}$。那么，$A\in A$是否成立？

首先，若$A\in A$，则$A$是$A$的元素，那么$A$具有性质$P$，由性質函数$P$可以得知$A\not \in A$；

其次，若$A\not \in A$，根據定義，$A$是由所有滿足性質$P$的類組成，也就是说，$A$具有性质$P$，所以$A\in A$。

通俗诠释

理发师悖论

小城里的理发师放出豪言：他要为城裡人刮鬍子，而且一定只要為城里所有“不为自己刮鬍子的人”刮鬍子。

但问题是：理发师该为自己刮鬍子吗？如果他为自己刮鬍子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他不应该为自己刮鬍子；但如果他不为自己刮鬍子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他又应该为自己刮鬍子。

用集合论的语言来描述理发师悖论是这样的：小城里的人构成集合$A=\{a|a\ lives\ in\ the\ town\}$，对于每个小城里的人$a$可以构造一个$A$的子集$S_{a}=\{x|a\ shaves\ x\}$，即$a$给属于$S_{a}$的人刮鬍子。那么，如果城里人$a$给自己刮鬍子，则$a\in S_{a}$，如果$a$不给自己刮鬍子，则$a\not \in S_{a}$，如果$a$不给任何人刮鬍子，则$S_{a}$ 为空，即$S_{a}=\{\}$。设理发师为$s$，则理发师的豪言就是：$S_{s}=\{a|a\not \in S_{a}\}$。问题是：如果$s\in S_{s}$，这将与$S_{s}$的定义矛盾，但如果$s\not \in S_{s}$，根据$S_{s}$的定义，又应该有$s\in S_{s}$。理发师悖论是个逻辑悖论。用集合论语言来描述并不是必需的，只是为了将来更容易说明它与罗素悖论不是一回事。

書目悖論

书目悖论（英語：Catalogue Paradox）是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为，假设有一图书馆编制了一部书目，有且仅有列出那些未列出自身的书目，那么这部书目会列出自身吗？

解决方案

当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论（除了依赖模糊性的双面真理），其问题几乎都是自指或自相关而引起。尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述），但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此，罗素提出了恶性循环原则，禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则，则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参见

• 自指
• 理发师悖论
• 类的理论