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普朗歇爾定理

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普朗歇爾定理(又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式[1] )是调和分析的重要定理,由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说,如果是實數線上的函数,并且是它的频谱,那么

或者寫成範數:

數學上更嚴格的描述是,令函数同时屬於两个L p空间 ,那么它的傅里叶变换屬於, 且為中的等距變換

這代表限制在上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張,有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换。此變換同時也是幺正的,透過此變換,我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換

普朗歇爾定理可以被推廣到n欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上,若是滿足一些其他的假設,普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立,更多細節可以參考非交换调和分析

由於在上內積與範數是相容的,我們也可以把普朗歇爾定理应用到内积上。也就是說,如果是两个在內的函數,表示普朗歇爾变换,则

而如果屬於,有以及所以

參見

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参考

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  1. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics有限度免费查阅,超限则需付费订阅. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0. 

外部链接

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