闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的核（又被称为零空间），即 $d\alpha =0$的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某个微分形式 $\beta$ 使得 $\alpha =d\beta$，$\beta$ 称为关于 $\alpha$ 的一个“本原”。

因为 $d^{2}=0$，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 $d$ 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 $\zeta$ 与 $\eta$ 是闭形式，且存在某个 $\beta$ 使得

$\zeta -\eta =d\beta \ ,$

那么 $\zeta$ 与 $\eta$ 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

$\mathbb {R} ^{2}$ 与 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 $dx\wedge dy$，故只有 1-形式

$\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意义，其外导数 $d$ 是

$d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

这里下标表示偏导数。从而 $\alpha$“闭”的条件是

$f_{y}=g_{x}\ .$

当 $h(x,y)$ 是一个函数时则

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在$\mathbb {R} ^{2}$上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理

庞加莱引理指出，在 一个n-维度域 Rⁿ 中的开球上的每个封闭的p-微分形式对于 p 都是恰当的，这里 1 ≤ p ≤ n 。 更一般地，引理指出，在流形的可收缩开子集（例如 $\mathbb {R} ^{n}$）上，闭 p-形式 p > 0 时是恰当的。^{[需要解释]}

参考文献

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
• 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7