若尔当矩阵

在数学中，特别是矩阵论裡，若尔当矩阵（英語：Jordan matrix）是矩阵的一种，又称若尔当块（英語：Jordan block）（作为另一个矩阵的一部分时）。当矩陣的系数在某个环 $R$ 上时（其中的加法单位元和乘法单位元分别记为0和1），若尔当矩阵可以写成如下形式：

{\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}

其对角线上全都是同一个元素 $\lambda \in R$ ，而对角线上一排（即所有第 $k$ 行第 $k+1$ 列）都是 $1$ ，其余位置上都是 $0$ 。

可以看到只要确定了对角线上的系数 $\scriptstyle \lambda$ 和矩阵的大小 $\scriptstyle n$ ，就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为 $\displaystyle J_{\lambda ,n}$ 。

如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块，那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵，或若尔当标准型。例如以下矩阵：

J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},m_{1}}&0&0&\cdots &0\\0&J_{\lambda _{2},m_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&J_{\lambda _{s-1},m_{s-1}}&0\\0&0&0&0&J_{\lambda _{s},m_{s}}\\\end{bmatrix}}

以上的若尔当形矩阵也可以记成 $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \ldots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$

若尔当矩阵 $\displaystyle J_{\lambda ,n}$ 可以分解为

J_{\lambda ,n}=\lambda I_{n}+N

其中 $I_{n}$ 是 $n$ 階的单位矩阵，而 $N$ 则是一个幂零矩阵：

N={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}

矩阵 $N$ 滿足 $N^{n}=0$ 。

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