单位圆

在数学中，单位圆（Unit circle）是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为 $(0,0)$ 、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S¹。多维空间中，单位圆可推广为单位球。

如果单位圆上的点 $(x,y)$ 位于第一象限，那么 $x$ 与 $y$ 是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据畢氏定理， $x$ 与 $y$ 满足方程式：

x^{2}+y^{2}=1\,\!

因对于所有的 $x$ 而言， $x^{2}=(-x)^{2}$ ，且所有点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上述方程式。

单位圆与三角函数

不仅是正弦函數与余弦函數，六个标准三角函数——正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）、正割（sec）、餘割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相關函數、外正割（exsec）、外餘割（excsc），甚至歷史上曾存在的弦函數（crd），都可以以单位圆標示。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有在滿足角度大于0且小于 ${\frac {\pi }{2}}$ 时才有意义。但在单位圆上，对于任何实数角度，这些函数都具有直观意义。

设 $(x,y)$ 是单位圆上的一个点。设角 $t$ 的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

\cos(t)=x\,\!

\sin(t)=y\,\!

另外，从 $x^{2}+y^{2}=1$ 可以得到

\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!

从这里可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是週期函数，对于任意的整数 $k$ 有恒等式

\cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!

\sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!

这些恒等式的依据是在角度 $t$ 增加或减少任意圈数时，x与y坐标將保持不变，其中一圈 $=2\pi$ 弧度=360°。

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示， $a+bi$ 表示为 $(a,b)$ 。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。