中心化子和正规化子

群论中，一個群 $G$ 的子集 $S$ 的中心化子（英語：Centralizer）$C_{G}(S)$ 是 $G$ 中與所有 $S$ 的元素滿足交換律的元素組成的集合； $S$ 的正规化子（英語：Normalizer） $N_{G}(S)$ 是 $G$ 中使 $S$ 關於 $g$ 的共軛類等於 $S$ 的元素 $g$ 組成的集合，此條件較上述中心化子的條件弱。

中心化子和正規化子都是 $G$ 的子群。它们分别給出對 $S$ 的元素和 $S$ 整體的限制。對某些子集 $S$ ，这些子群能夠給出關於群 $G$ 结构的信息。

定義

中心化子

令 $G$ 為一個群， $S$ 為 $G$ 的一個子集，我們定義一個由 $G$ 中與每一個 $S$ 的元素 $s$ 可交換的元素組成的集合，記做 $C_{G}(S)$；換言之，

$C_{G}(S)=\{x\in G\mid \forall s\in S,xs=sx\}$。

若 $H$ 為 $G$ 的子群且 $S\subseteq H$ ，則 $C_{H}(S)=C_{G}(S)\cap H$。

特別的，當 $S$ 為單元素集合 $S=\{a\}$ 時，我們會將其中心化子簡寫為 $C_{G}(S)=C_{G}(a)$。

群的中心

群 $G$ 的中心是 $C_{G}(G)$ ，通常记作 $Z(G)$ 。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将 $a$ 的中心化子视作 $G$ 中最大（用包含关系作為比較大小的依據）的子群 $H$ ，使得 $a$ 属于其中心 $Z(H)$ 。

正规化子

$S$ 在 $G$ 中的正规化子记作 $N_{G}(S)$ 或 $N(S)$ 。正规化子定义为 $N_{G}(S)=\{x\in G\mid xS=Sx\}$ 。同样的是， $N_{G}(S)$ 是 $G$ 的子群。

正规化子得名于 $N_{G}(\langle S\rangle )$ 是 $G$ 中包含 $\langle S\rangle$ 且 $\langle S\rangle$ 为 $N_{G}(\langle S\rangle )$ 正规子群的最大子群，其中 $\langle S\rangle$ 是由 $S$ 生成的子群。

包括 $\langle S\rangle$ 且 $\langle S\rangle$ 為其正规子群的最小的 $G$ 的子群称为共軛閉包。

如果 $N_{G}(H)=H$ ，则子群 $H$ 称为 $G$ 的自正规化子群。

性质

若 $G$ 是交换群，则任何 $G$ 的子集的中心化子和正规化子都包含 $G$ 所有的元素；特别地，一个群可交换，当且仅当 $Z(G)=G$ 。

若 $a$ 和 $b$ 是 $G$ 的任意元素，则 $a$ 在 $C_{G}(b)$ 中当且仅当 $b$ 在 $C_{G}(a)$ 中，这又亦等價於 $a$ 和 $b$ 可交换（ $ab=ba$ ）。

若 $S$ 為單元素集合 $S=\{a\}$ ，则 $N_{G}(S)=C_{G}(S)=C_{G}(a)$。

$C_{G}(S)$ 总是 $N_{G}(S)$ 的正规子群：若 $c$ 属于 $C_{G}(S)$ 而 $n$ 属于 $N_{G}(S)$ ，我们需要证明 $n^{-1}cn$ 属于 $C_{G}(S)$ 。 为此，取 $s$ 属于 $S$ 并令 $t=nsn^{-1}$ 。则 $t$ 属于 $S$ ，所以 $ct=tc$ 。注意到 $ns=tn$ ；以及 $n^{-1}t=sn^{-1}$ 。我们有

$(n^{-1}cn)s=(n^{-1}c)tn=n^{-1}(tc)n=(sn^{-1})cn=s(n^{-1}cn)$

这也就是要证明的命题。

更一般的，我们有 $Z(G)\triangleleft C_{G}(S)\triangleleft N_{G}(S)\leq G$。

若 $H$ 是 $G$ 的子群，则 $N/C$ 定理表明因子群 $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ 同构于 $Aut(H)$（$H$ 的自同构群）的子群。

因为$N_{G}(G)=G$，$N/C$ 定理也意味着$G/Z(G)$ 同构于 $Inn(G)$（由所有$G$ 的内自同构组成的 $Aut(G)$ 的子群）。

如果我们通过 $T_{x}(g)=xgx^{-1}$ 定义群同态 $T_{x}:G\to Inn(G)$，则我们可以用$Inn(G)$在$G$上的群作用来表述$N_{G}(S)$和$C_{G}(S)$：$S$在$Inn(G)$中的定点子群就是$T_{x}(N_{G}(S))$，而$Inn(G)$中固定$S$的子群就是$T_{x}(C_{G}(S))$。

共軛類方程

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若 $G$ 为有限群，考慮 $S$ 共軛到自身的群作用，並應用軌道-穩定點定理，

G的核為$|\ker \rho |=|Z(G)|$

G的軌道為$|G\cdot x_{i}|=|G:C_{G}(x_{i})|$

類方程：

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}|G:C_{G}(x_{i})|$